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1、学 海 无 涯,2.1.2 指数函数及其性质（学案）,（第 1 课时）,【知识要点】 指数函数； 指数函数的图象； 指数函数的单调性与特殊点 【学习要求】 理解指数函数的概念与意义； 能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊 点；,【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材第 54 页第 57 页） 1.指数函数的概念,x,2,1,（1）函数 y 1.073 x 与 y ( ) 的特点是,.,（2）一般地，函数 y a x（ ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 . 2.指数函数的图象与性质 （1）列表、描点、作图象,1,学 海 无 涯,（2）两个图象的
2、关系,x,2,1,函数 y 2 x 与 y ( ) 的图象，都经过定点,，它们的图象关于 对称.,通过图象的上升和下降可以看出， 是定义域上的增函数， 是定义域上的 减函数. （3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：,2,学 海 无 涯,性质,【基础练习】 指出下列哪些是指数函数 （1） y 4 x ；（2） y x 4 ；（3） y 4 x ；（4） y (4) x ；（5） y x ； （6） y 4x2 ；（7） y x x ；（8） y (2a 1) x (a 1 且a 1) . 2 作出 y 3 x 的图象. 求下列函数的定义域及值域： （1） y a x3 ； 2 （
3、2） y 3x 2 x ；,2,1,1 ) x1,（3） y (,4.下列关系中正确的是（,）.,) 3,252,1 21 21 1,（A） ( ) 3 ( ) 3 (,) 3,5,22,1 11 21 2,（B） ( ) 3 ( ) 3 (,) 3,3,2,52,1 21 21 1,（D） ( ) 3 ( ) 3 (,1 21 11 2 （C） (5) 3 ( 2)3 ( 2) 3 【典型例题】,例 1 已知指数函数 f (x) ax (a 0,且a 1) 的图象经过点(3, ) ，求 f (0) ， f (1) ， f (3) 的值.,例 2 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.
4、5 ，1.73 ；,学 海 无 涯,（2） 0.80.1 ， 0.80.2 ； （3）1.70.3 ， 0.93.1 .,1.函数 y (a 2 3a 3) axb 是指数函数，则有（,）.,（A） a 1或a 2,b R（B） a 1,b 0 （C） a 2,b 0（D） a 0且a 1,b 0,2,2.若函数 f (x) 与 g(x) ( 1) x 得图象关于 y 轴对称，则满足 f (x) 1的 x 的取值范围是,（,）. （A） R（B） (,0),（C） (0,),（D） (1,),3.函数 y 2 x2 2 x1 的定义域是（,）.,（D） R,（A）x 2 x 2（B）x1 x
5、2（C）x x 1 4.若集合 A y y 2 x , x R ， B y y x 2 , x R，则（,）.,（A） A B,（B） A B（C） A B（D） A B ,5.函数 f (x) (a 1) x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是（,）.,（A） a 0（B） 1 a 0（C） 0 a 1（D） a 1 函数 y 3 x 1的定义域和值域分别为 . 函数 y ax2 (a 0且a 1) 的图象必经过点 . 某厂从今年起每年计划增产8% ，则经过5 年，产量能达到现在的 倍（精确到 0.01 ）.,4 1,9.（1）比较(,1,510,9,) 2 与() 3 的大小并说明理由.
6、,（2）已知a b2 且b 1，比较aa 与b2b 的大小.,4,学 海 无 涯,2,10.已知函数 f (x) a 2 x b 的图象过点( 1 ,3) 和(0,2) .,求 f (x) 的解析式； 画函数 y f (x) 的图象；,1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的 3 ，写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的函数关系式，,4 若要使存留污垢不超过原来的1% ，则至少要漂洗几次？,2.1.2指数函数及其性质（教案） （第 1 课时） 【教学目标】 使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系. 理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数
7、的单调 性和特殊点. 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形结 合的方法等. 【重点】指数函数的概念和性质.,5,学 海 无 涯,【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.,【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材第 54 页第 57 页） 1.指数函数的概念,x,2,1,x,（1）函数 y 1.073 x 与 y ( ) 的特点是 解析式都可以表示为 y a,的形式.,（2）一般地，函数 y a x （ a 0,且a 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的 定义域是 R . 2.指数函数的图象与性质 （1）列表、描点、作图象,（2
8、）两个图象的关系,2,函数 y 2 x 与 y ( 1 ) x 的图象，都经过定点 (0,1),，它们的图象关于 y 轴对称.通,x,2,1,过图象的上升和下降可以看出， y 2 x 是定义域上的增函数，y ( ) 是定义域上的减函数.,（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：,6,学 海 无 涯,【基础练习】 1.指出下列哪些是指数函数 （1）y 4 x ；（2） y x 4 ；（3） y 4 x ；（4） y (4) x ；（5） y x ；,2,（6） y 4x2 ；（7） y x x ；（8） y (2a 1) x (a 1 且a 1) .,解：是指数函数的有（1），（4
9、），（5），（8）. 2.作出 y 3 x 的图象.,3 x , x 0,3x , x 0,解： y 3 x ,，如图：,7,学 海 无 涯,3.求下列函数的定义域：,（1） y a x3 ；,2 （2） y 3x 2 x ；,1,2,（3） y ( 1 ) x1,解：（1）要使式子有意义，则需要 x 3 0 ，即 x 3 ，定义域为3,) . （2）要使式子有意义，则需要 x2 2x 为实数，因此，定义域为R .,1,有意义，定义域为x x 1.,（3）要使式子有意义，则需要 4.下列关系中正确的是（D,x 1 ）.,) 3,252,1 21 21 1,（A） ( ) 3 ( ) 3 (,)
10、 3,5,22,1 11 21 2,（B） ( ) 3 ( ) 3 (,) 3,522,1 21 11 2,（C） ( ) 3 ( ) 3 (,) 3,2,52,1 21 21 1,（D） ( ) 3 ( ) 3 (,【典型例题】 例 1 已知指数函数 f (x) ax (a 0,且a 1) 的图象经过点(3, ) ，求 f (0) ， f (1) ， f (3) 的值. 【审题要津】结合以前学过的求函数解析式的方法，本题中只要求出参数a 就可以了. 解：因为 f (x) a x 得图象经过点(3, ) ，所以 f (3) ，即a3 1x 解得a 3 ，于是 f (x) 3 .,1,8,1,所
11、以， f (0) 0 1， f (1) 3 3 ， f (3) 1 .,【方法总结】从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，即只需要列一个方程即可.向 学生渗透方程的思想.,学 海 无 涯,例 2 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5 ，1.73 ； （2） 0.80.1 ， 0.80.2 ； （3）1.70.3 ， 0.93.1 . 【审题要津】（1），（2）利用指数函数单调性，（3）要构造中间数 解：（1）1.72.5 ，1.73 可看作函数 y 1.7 x 的两个函数值.由于底数1.7 1，所以指数函 数 y 1.7 x 在R 上是增函数. 因为2.5 3，所以1.72.5
12、1.73 . （2） 0.80.1 ,0.80.2 可看作函数 y 0.8x 的两个函数值.由于底数0 0.8 1，所以指数 函数 y 0.8x 在R 上是减函数. 因为 0.1 0.2 ，所以0.80.1 0.80.2 . （1） 由指数函数的性质知 1.70.3 1.70 1 0.93.1 0.90 1 所以1.70.3 0.93.1 . 【方法总结】比较幂值的大小常常华化为同底数的幂，利用指数函数的单调性比较大小， 或者借助幂值的范围利用中间数值过渡，常用的数值可能是0 或1.根据具体情况也可能是其 他数值.,1.函数 y (a 2 3a 3) axb 是指数函数，则有（C,）.,（A）
13、 a 1或a 2,b R（B） a 1,b 0 （C） a 2,b 0（D） a 0且a 1,b 0,9,学 海 无 涯,2,2.若函数 f (x) 与 g(x) ( 1) x 得图象关于 y 轴对称，则满足 f (x) 1的 x 的取值范围是,（C）. （A） R（B） (,0),（C） (0,),（D） (1,),3.函数 y 2 x2 2 x1 的定义域是（B）.,（A）x 2 x 2（B）x1 x 2（C）x x 1,（D） R,）.,4.若集合 A y y 2 x , x R ， B y y x 2 , x R，则（A）. （A） A B（B） A B（C） A B（D） A B 5
14、.函数 f (x) (a 1) x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ B （A） a 0（B） 1 a 0（C） 0 a 1（D） a 1,3,6.当 x 1,1时，函数 f (x) 3x 的值域是1 ,3,.,7.函数 y ax2 (a 0且a 1) 的图象必经过点 (2,1) . 8.某厂从今年起每年计划增产8% ，则经过5 年，产量能达到现在的 1.47 倍（精确 到0.01 ）.,4 1,1,510,9,9.（1）比较( ) 2 与() 3 的大小并说明理由.,（2）已知a b2 且b 1，比较aa 与b2b 的大小.,4 1,1,510,9,解 ：（1） ( ) 2 与() 3
15、 底数不同，指数也不同，,4 1,1,510,9,应插入一个中间量进行比较.根据两个数的特征应插入( ) 3 或() 2 ., y ,x 在(0, ）上是增函数,1,510,4 1,1023,9911,10,10,9, ( ) 2 () 2 ，又0 1.， y () x 是减函数，,学 海 无 涯,1,1 ) 3,10,9,10,9,() 2 (,1 ) 3,10,9,5,4 1,( ) 3 (,（2）a b2 2 只需比较b2b 与b2b 的大小 b 1,b2 b ，即 2b2 2b 又 y bx 是增函数，b2b2 b2b ，即aa b2b,2,10.已知函数 f (x) a 2 x b 的图象过点( 1 ,3) 和(0,2) .,求 f (x) 的解析式； 画函数 y f (x) 的图象；,2,1,解：（1）由题意知： f ( ) a b 3, f (0) 1 b 2 ，,b 1,解得： a 2, f (x) 22 x 1 4x 1 （2）,4,3,1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的函数关系式，,11,学 海 无 涯,若要使存留污垢不超过原来的1% ，则至少要漂洗几次？ 解：设未漂洗时衣服上的污垢量为a(a 0),经过 x 次漂洗后，存留污垢量为 y ，则,44,经过第一次漂洗
