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1、2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,1,第二章变形体虚位移原理,弹性力学基本概念预备知识 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理和势能原理的应用,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,2,预 备 知 识（回顾）, 线弹性平面问题的平衡 方程, 小变形平面问题的几何 方程,线应变：,角应变：,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,3, 线弹性平面问题物理方程,平面应力：,平面应变：,预 备 知 识（回顾）,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,4, 平面问题应力边界条件,在应力边界上：, 平面问题物理量的矩阵 表示,应力矩阵,应变
2、矩阵,体积力矩阵,表面力矩阵,位移矩阵,已知位移矩阵,弹性矩阵,预 备 知 识（回顾）,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,6,基本方程矩阵表示, 平衡方程, 几何方程, 物理方程, 边界条件,杆系问题的基本方程（作业）, 平衡方程如何建立？, 几何方程如何建立？, 内力和变形间关系如何？,由微段的平衡条件建立,由微段的变形条件建立,以上内容必须 通过自己动手 达到熟练掌握,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,7,变形体虚位移原理和势能原理,一、变形体虚位移时外力功计算 二、变形体虚位移原理表述和证明 三、一些名词含义的解释 四、势能驻值原理和最小势能原理,
3、2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,8,变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算,内部微元体的受力分析,10,其余类推,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,9,变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算,内部微元体的位移分析,虚位移,算子符号,能写出各点的位移吗？,提示：连续函数台劳级数展开,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,10,变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算,内部微元体的外力功计算,8,y方向的力所做的功等于多少？,请大家自行写出内部微元体x向外力的总虚功,2020/7/22,哈尔滨工业大学
4、 土木学院 王焕定,11,变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算,内部微元体的外力功计算,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,12,变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算,边界微元体的外力功计算,设A点虚位移为,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,13,变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算,边界微元体的外力功计算,不管是否平衡均一样,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,14,变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算,变形体的外力总虚功计算,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院
5、王焕定,15,变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算,矩阵表示变形体的外力总虚功,18,17,48,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,16,变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的表述,受给定外力作用，变形连续体处于平 衡状态的充分必要条件为：对任意虚位移 （具有任意、独立性），外力所做的总虚 功恒等于变形体所接受的总虚变形功，也 即恒满足如下虚功方程,26,能说 出虚 位移 原理 和虚 功原 理的 表述 有何 区别 吗？,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,17,变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明,虚
6、位移原理的必要性证明,必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。,15,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,18,变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的必要性证明,必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。,15,=0,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,19,变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的充分性证明,充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。,设变形体不平衡，每瞬时均考虑惯性力则动平衡。 也即,此时，“体积力”为：,因为“平衡”，由必要性可得：,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,20,
7、变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的充分性证明,充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。,因为虚功方程恒成立，由此可得：,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,21,变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的几点说明,1）适用于一切可变形物体（可变性固体、流体 等）。,2）虚功原理和虚位移原理是不同的。前者只是 必要性命题，而后者则是充分必要的命题。,3）王光远院士与我曾经证明，当不是取微元体 进行研究时，不能证明变形体平衡。,4）我们还曾经证明，当虚位移不具有完全任意 和独立性时，也不能证明变形体平衡。,2020/7/22,
8、哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,22,变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的几点说明,5）只需将面积分改成体积分，线积分改成面积 分，即可得到三维问题的虚功方程。,6）利用虚位移原理做近似分析时，是应用原理 的充分性，认为是用必要性时错误的。,7）像虚功原理证明中一样，外力总虚功可分解 成荷载与切割面内力的总虚功的和。此时格 林公式实质是切割面内力总虚功为零。,8）格林公式也可理解成是变形体虚功原理的变 形。请大家自行考虑如何从虚功方程出发， 用平衡和边界条件推得格林公式。作业,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,23,变形体虚位移原理和势能原理
9、一些名词含义的解释,1）任何满足几何方程和位移边界条件的位移， 称作可能位移，记作dk。,2）由可能位移通过几何方程求得的应变，称作 可能应变，记作k。,3）由可能应变通过物理方程求得的应力，称作 可能应力，记作k。,4）可能应力在可能应变时所作的功，也即所储 存的应变能，称作可能应变能，记作Uk。,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,24,变形体虚位移原理和势能原理 一些名词含义的解释,5）从可能位移退回到初始（也称自然）状态时， 外力所作的功，称作外力势能，记作Pf。,6）可能应变能和外力势能的总和，称作对应可 能位移dk的总势能，简称总势能，记作 k。,7）可能位移和真
10、实位移的偏差，称作位移的变 分，记作 d 。由此可得应变、应力的变分。,8）可能位移总势能和真实总势能的偏差，其中 与位移变分成线性关系的部分，称作势能的 一阶变分，记作 。位移变分二次式部分 称作势能的二阶变分，记作 2 。余类推。,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,25,变形体虚位移原理和势能原理 势能驻值原理和最小势能原理,势能驻值原理的表述：某一变形可能状态为真实 位移状态的充分必要条件是，相应于此位移状态 的变形体势能取驻值。也即势能对位移的一阶变 分恒等于零。,为了证明上述原理，先证明如下的格林公式：,式中 满足平衡条件， 和 间满足几何方 程， 还满足位移边界
11、条件。,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,26,变形体虚位移原理和势能原理 势能驻值原理和最小势能原理,格林公式的证明：,格林公式证毕,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,27,变形体虚位移原理和势能原理 势能驻值原理和最小势能原理,势能驻值原理的证明：,变形体的总势能可表为：,式中势能的一阶变分为：,将位移的一阶变分理解为虚位移，则由变形体虚 位移原理的虚功方程可证势能一阶变分为零，能保证平衡。因此，势能原理结论正确。,16,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,28,变形体虚位移原理和势能原理 势能驻值原理和最小势能原理,最小势能原理：
12、,线性、弹性变形体的总势能可表为：,由此可证明，对于一切位移变分，势能的二阶变 分恒大于等于零（仅在位移变分为零时才等于零）。因此势能取最小值。,从势能原理证明可见，它和虚位移原理等价。都 等价于平衡条件.,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,29,虚位移原理和势能原理的应用,里兹法,里兹法基本思路: 选取满足位移边界条件的函数作为“基函数”，,将一个无限自由度的位移设为若干基函数的线性 组合，,从而把无限自由度化为有限个自由度问题。,以所设位移作为可能位移，,令体系的总势能一 阶变分恒等于零使系统近似平衡，,从而求得组合 系数。,代回所设位移场，可进一步确定任意点的 位移，
13、利用几何、物理方程，还可求得应变和应 力等。,上述近似方法即为里兹法。,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,30,虚位移原理和势能原理的应用,里兹法,里兹法的解题步骤:,1）选取满足位移边界条件的函数作为“基函数”,2）设近似位移场为基函数的线性组合,3）将所设位移场代入势能表达式，从而将势能 表为组合系数的函数,4）令势能一阶变分（对组合系数偏导）为零， 建立求组合系数的线性代数方程组，并求所需量,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,31,虚位移原理和势能原理的应用,里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度,1）选取满足位移边界条件（A点挠度转角为零
14、）的函数作为“基函数”,2）对于所选的挠曲线，其虚位移、虚曲率，可能位移对应的弯矩等如下所示：,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,32,虚位移原理和势能原理的应用,里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度,3）外力的总虚功为：,4）总虚变形功为：,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,33,虚位移原理和势能原理的应用,里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度,5）当v 仅取一项时，由虚功方程可得：,当v 仅取二项时，由虚功方程可得：,当v 取三项时，由虚功方程可得：,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,34,虚位移原理和势能原理
15、的应用,里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度,5）当v 仅取一项时，弯矩为：,当v 仅取二项时，弯矩为：,当v 取三项时，弯矩为：,里兹法位移精度高于内力精度 当试函数组合包含真解时， 结果为精确解，否则为近似解,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,35,虚位移原理和势能原理的应用,设D点水平位移为u，竖向位移为v。在此位移下，体系的应变能U为：,体系的外力势能为：,体系的总势能为：,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,36,虚位移原理和势能原理的应用,根据势能原理，真实位移应使总势能最小，因此由势能对位移的偏导数为零可得,由此可解得,2020/7
16、/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,37,虚位移原理和势能原理的应用,由位移可求得各杆变形（伸长）如下：,由此可解得各杆的轴力为：,从这个例子你能得到 什麽结论？ （可参考龙书14章）,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,38,虚位移原理和势能原理的应用,取试函数如下：,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,39,虚位移原理和势能原理的应用,杆内任意一点的挠度v可用结点位移作参数，用试函数的组合来得到，从试函数示意图可见，此时位移边界条件自动满足,由此位移引起的杆件应变能U为：,2020/7/22,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,40,虚位移原理和势能原理的应用,由此位移引起的杆件外力势能可用下式求得,由势能原理，总势能对位移的偏导数等于零（这都是数学推演，请大家自己看龙先生
