抛物线与三角 形的面积

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1、抛物线与三角形的面积 抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度， 近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用 所学知识解决问题的能力。 这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线 2 yaxbxc上的三角形面积的求法。 1、已知抛物线: 224 2 33 yxx (1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标; (2)画出抛物线的草图; (3)设抛物线与x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左边），与 y 轴交于 C 点，顶点为D。 求： DAB 和 CAB 的面积； 四边形 ABCD 的面积； ACD 的面积 (4)求直线

2、AC 的解析式； （5）抛物线上有一动点P 在直线 AC 上方， 问：是否存在一点P，使 PAC 的面积最大，若存在，求出PAC 的最大面积及P 点坐标； 若不存在，请说明理由。 2、如图，抛物线cbxxy 2 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2） 设（1）中的抛物线交y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 PBC 的面积最大？，若存 在，求出点P 的坐标及 PBC 的面积最大值.若没有，请说明理

3、由. A B C 练习： 1、在 ABC 中， A90 ，AB4，AC3，M 是 AB 上的动点（不与A，B 重合）， 过 M 点作 MNBC 交 AC 于点 N以 MN 为直径作 O，并在 O 内作内接矩形AMPN令 AMx （1）用含 x 的代数式表示 NP 的面积 S； （2）当 x 为何值时，O 与直线 BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记NP 与梯形 BCNM 重合的面积为y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少？ 2、如图 1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0， 2）三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛

4、物线上的一个动点，过P 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、 P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在， 请求出符合条件的点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D，使得 DCA 的面积最大，求出点D 的坐标 图 1 A B C M N D 图2 O A B C M N P 图1 O A B C M N P 图3 O 3、(2011 漳州中考题 ) 如图 1，抛物线 y=mx 2-1lmx+24m(m0) 与 x 轴交于 B、C两点 ( 点 B在点 C的左侧 ) ，抛物线上另有一点A在第一象限内，且BAC=90 0 (1)填空： OB

5、=_ ， ）OC=_ ； (2)连结 OA ，将 OAC沿 x 轴翻折后得到 ODC ，当四边形OACD 是菱形时，求此时抛物 线的解析式； (3)如图 2，设垂直于x 轴的直线 l：x=n 与(2) 中所求的抛物线交于点 M ，与 CD交于点 N，若直线 l沿 x 轴方向左右平移，且交点 M始终位于抛物线上A、C 两点之间时， 试探究：当n 为何值时，四边形AMCN 的面积取得最大值，并求出这个最大值。 参考答案 （1）解：当x=0 时， y=2 抛物线与y 轴交点坐标为（0，2） 当 y=0 时，解得： 12 3,1xx 抛物线与x 轴交点坐标为3,0 或 1,0 2 2 2428 21

6、3333 yxxx 抛物线的顶点坐标为 8 1, 3 （3）解： 11816 4 2233 DAB SAB DE 11 424 22 CAB SAB OC 18181 2211 2 23232 87 1 33 6 DAEBCOABCDOCDE SSSS 四边形梯形 ACD S 871 32 332 2 ADEAOCOCDE SSS 梯形 （4）解：设直线AC 的解析式为ykxb， 直线 AC 经过3,00,2AC和， 可求得解析式为 2 2 3 yx （ 5）过 P 作 PE/y 轴，交直线AC 于点 E； 设 P、E 的坐标分别)2 3 2 ,(),2 3 4 3 2 ,( 2 xxExxx

7、D (3) x y A B C P E O x y A B C Q O (2) xx xxxDE 2 3 2 )2 3 2 ()2 3 4 3 2 ( 2 2 3) 2 3 ( 3 4 4 3 4 4)2 3 2 ( 2 1 2 2 x xx xxS PAC 当面积最大时点D 坐标为) 2 5 , 2 3 ( 2、解： (1) 将 A(1，0) ， B(3， 0) 代 2 yxbxc中得 10 930 bc bc （2 分） 2 3 b c （3 分） 抛物线解析式为： 2 23yxx (2)存在理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴1x对称 直线 BC与1x的交点即为Q点，此时 AQC

8、 周长最小 2 23yxx C的坐标为： (0，3) 直线 BC解析式为：3yx Q点坐标即为 1 3 x yx 的解 1 2 x y Q(1，2) （3）答：存在。 理由如下： 设 P点 2 (23) ( 30)xxxx， 9 2 BPCBOCBPCOBPCO SSSS 四边形四边形 若 BPCO S四边形 有最大值，则 BPC S 就最大， BPEBPCOPEOCSSSRt四边形直角梯形 11 () 22 BE PEOE PEOC 2211 (3)(23)()(233) 22 xxxxxx 2 33927 () 2228 x 当 3 2 x时， BPCO S 四边形 最大值 927 28

9、BPC S 最大 927927 2828 当 3 2 x时， 2 15 23 4 xx 点 P 坐标为 315 () 24 ， 练习： 1、解： （ 1） MNBC， AMN=B， ANM C AMN ABC AMAN ABAC ，即 43 xAN AN 4 3 x 2 分 S= 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx （0 x 4） 3 分 （2）如图 2，设直线BC 与 O 相切于点D，连结 AO，OD，则 AO=OD = 2 1 MN 在 RtABC 中， BC 22 ABAC=5 由（ 1）知 AMN ABC AMMN ABBC ，即 45 xMN 5 4 MNx， 5 8

10、 ODx5 分 A B C M N D 图 2 O Q A B C M N P 图1 O 过 M 点作 MQBC 于 Q，则 5 8 MQODx 在 RtBMQ 与 RtBCA 中， B 是公共角， BMQ BCA BMQM BCAC 5 5 25 8 324 x BMx， 25 4 24 ABBMMAxx x 49 96 当 x 49 96 时， O 与直线BC 相切 7 分 （3）随点 M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP，则 O 点为 AP 的中点 MNBC， AMN= B， AOM APC AMO ABP 1 2 AMAO ABAP AMMB2 故以下分两种情况讨论： 当

11、0 x2 时， 2 8 3 xSyPMN 当x2 时， 233 2. 82 y最大8 分 当 2x4 时，设 PM，PN 分别交 BC 于 E， F 四边形 AMPN 是矩形， PN AM，PNAMx 又MNBC， 四边形 MBFN 是平行四边形 FNBM4x 424PFxxx 又 PEF ACB 2 PEF ABC SPF ABS 23 2 2 PEF Sx9 分 MNPPEF ySS 2 22339 266 828 xxxx 10 分 当 2x4 时， 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x 当 8 3 x时，满足2x4，2y最大 11 分 A B C M N P 图4 O E

12、F A B C M N P 图3 O 综上所述，当 8 3 x时，y值最大，最大值是212 分 2、（1）因为抛物线与x 轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代 入 点C的坐 标 （ 0 ， 2 ），解 得 2 1 a 所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： 2 2 5 2 1 )4)(1( 2 1 2 xxxxy （2）设点 P 的坐标为)4)(1( 2 1 ,(xxx 如图 2，当点 P 在 x 轴上方时， 1x4，)4)(1( 2 1 xxPM，xAM4 如果2 CO AO PM AM ，那么2 4 )4)(1( 2 1 x xx 解得5x

13、不合题意 如果 2 1 CO AO PM AM ，那么 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx 解得2x点 P 的坐标为（ 2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时， x4，)4)(1( 2 1 xxPM，4xAM 解方程 2 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得 5x 此时点 P 的坐标为)2,5( 解方程 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得 2x 不合题意 如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时， x1，)4)(1( 2 1 xxPM，xAM4 解方程 2 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得 3x 此时点P的坐标为)14, 3( 解方程 2 1 4 )4

14、)(1( 2 1 x xx ，得 0 x 此时点 P 与点 O 重合，不合题意 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（ 2，1）或)14,3(或)2,5( 图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交AC 于 E直线 AC 的解析式为2 2 1 xy 设点D 的横坐标为m)41 (m，那么点D 的坐标为)2 2 5 2 1 ,( 2 mmm，点E 的坐标为 )2 2 1 ,(mm所以)2 2 1 ()2 2 5 2 1 ( 2 mmmDEmm2 2 1 2 因此4)2 2 1 ( 2 12 mmS DAC mm4 2 4)2( 2 m当2m时， DCA 的面积 最大，此

15、时点D 的坐标为（ 2，1） 图 5 图 6 3、解： (1)OB=3，OC=8 4分 (2)连结 AD ，交 OC于点 E 四边形OACD 是菱形 ADOC ，OE=EC= 2 1 8=4 BE=4 3=1 又 BAC=90 0 A CE BAE AE CE BE AE AE 2=BE CE=1 4 AE=2 6分 点 A的坐标为 (4，2)7分 把点 A的坐标 (4 ，2) 代人抛物线y=mx 2-llmx+24m ，得 m=- 2 1 抛物线的解析式为y=- 2 1 x 2 + 2 11 x- 129分 (3) 直线 x=n 与抛物线交于点M 点 M的坐标为 (n ，- 2 1 n 2+ 2 11 n-12) 由(2) 知，点 D的坐标为 (4 ，-2) ，由 C 、D两 点坐标求得直线CD的解析式为y= 2 1 x-4 点 N坐标为 (n ， 2 1 n-4) MN=(- 2 1 n 2+ 2 11 n-12) 一( 2 1 n-4) =- 2 1 n 2 +5n-8 11分 S四边形 AMCN=SAMN +SCMN= 2 1 MN CE = 2 1 (- 2 1 n 2+5n-8) 4 =-(n-5) 2+9 13分 当 n=5 时，S四边形 AMCN 最大值 =9 14 分