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1、单涡卷蔡氏电路的非线性时间序列分析张捷 孙俊峰Michael Small 香港理工大学 电子及资讯工程学系，香港 九龙摘要：蔡氏电路表现出单涡卷引子时，其输出为包含一明显周期成分的伪周期时间序列。 对于这种时间序列我们采用几种最新提出的方法来分析和刻画其混沌动力学特性，包括将时间序列划分为单个Cycle，并在时域和相空间中研究其相关性质，以及对系统重现时间分布进行统计。这些新的方法进一步加深了我们对蔡氏电路单涡卷混沌吸引子的认识。关键词：单涡卷蔡氏电路；伪周期时间序列；复杂网络；重现时间；混沌近年来,非线性科学及混沌理论在保密通信，功率电子学,自动控制,生物医学以及许多其他工程领域获得了广泛的
2、应用1, 比如利用混沌同步实现保密通信,和通过反馈方法对混沌奇怪吸引子的不稳定周期轨道进行控制,已成为通讯领域2和自控领域的研究热点，并已进入到应用阶段。在电路与系统研究中蔡氏电路一直是一个热点.它是目前众多混沌电路中最具代表性的一种,其典型的电路结构已成为理论和实验研究混沌的一个范例。蔡氏电路能够展现出一系列复杂的混沌动力学特性,但对于其单涡卷吸引子的情形研究还较少。蔡氏电路表现出单涡卷吸引子时，其分量包含一明显的周期成分，见图1。所对应的时间序列为一伪周期时间序列。传统的基于混沌理论的非线性时间序列分析方法对于伪周期时间序列往往不适合，这是因为伪周期时间序列内在的周期性可能会掩盖原本存在的
3、混沌特性3。此外噪声不可避免的会引起传统的混沌不变量如关联维数，李亚普诺夫指数的失效3。本文采用新的伪周期时间序列的分析方法3，4以及状态复现时间（Recurrence Time）对蔡氏电路单涡卷吸引子分量进行分析，目的是对这种时间序列的确定性成分（如混沌）进行多方面和更为鲁棒的刻画，从而对系统的混沌动力学特性有更深入的理解。这些刻画还可以用于系统辨识等其他目的。1 时间序列的混沌特性检测1.1 .Cycle的时域相关性图1 (a) 蔡氏电路的单涡卷混沌吸引子。（b）蔡氏电路的分量。对应的方程为：,Fig.1 (a) single-scroll.chaotic attractor from C
4、hua circuit (b) Corresponding time series.我们首先将时间序列 （个观测值）按照局部极大（或极小）值分割为个连续的Cycle(周期)。对每对Cycles 和 (), 我们用其相关系数来度量它们的相似性或者在相空间中的距离3. 事实上，两个Cycle如果具有高的相关系数，它们在相空间中的距离也是小的。对每一Cycle ，我们将其他所有个Cycle按照其与的距离升序排列，得到个列向量，其中是与距离第近的Cycle 的序号。将每一()中的第个Cycle取出并连缀在一起我们得到一行向量，表示为。很自然的原时间序列可以表示为。 可以发现序列与原序列最为接近( 因为
5、中每一Cycle与原序列相应的Cycle都是距离最近的 )，而为第2接近，,以此类推。用表示中Cycle的序号，接下来我们寻找满足如下关系的Cycle对:. （其中表示中第个元素）。我们 用表示中满足上述条件的Cycle对的个数。从物理角度讲，这意味着彼此非常接近的两个Cycle 和 随时间演化将导致两段非常接近的轨道（或者Cycle链）。对混沌系统，由于邻近轨道呈指数发散，与应满足指数关系，即与是线性关系，见图2。其斜率表示相近的Cycle发散的速度，称为Cycle Divergence Rate。第2个统计量是Cycle Divergence Rate对于各个的一个平均，称为Average
6、 Cycle Divergence Rate。即将对于各个进行加和，得到的与之间满足一个幂率关系，见图3，其斜率也表示相近的Cycle发散的速度，但对噪声更为鲁棒。 第3个统计量是Spatial Divergence Rate它反映了确定性成分如何在中随而减少，见图4。对于混沌系统，与之间也满足一个幂率递减关系。以上各统计量的详细导出过程可参参见原文3。图 x分量的Cycle Divergence RateFig.2 Cycle Divergence Rate for x component.图3 x分量的Average Cycle Divergence RateFig.3 Average C
7、ycle Divergence Rate for x component.图4 x分量的 Spatial Divergence Rate.Fig.4 Spatial Divergence Rate for x component.1.2 Cycle在相空间中相关性在上一节的基础上，即将序列划分为连续的Cycle并用相关系数作为其距离的度量，我们进一步将时间序列映射至复杂网络域4.其中每一Cycle对应于复杂网络中的一个节点，两个Cycle是否连接取决于其相关系数是否足够大（大于一阈值）。复杂网络已成为近十年来研究的前沿和热点问题4，并已涉及到科研和工程中的绝大多数领域。复杂网络的概念为研究复杂
8、系统提供了可能。通过上面提出的映射方法，原时间序列的动力学特性将在相应的复杂网络的拓扑结构中得到体现，而网络拓扑结构的统计量就可以被用来刻画时间序列的时域特性。图5给出了时间序列所对应的复杂网络。可以看到它具有高度的聚类特性，而所有的节点（即cycle）位于一个低维的流形结构上说明原时间序列源于一确定性的低维系统。图6给出了在一系列不同的阈值下所得到的复杂网络的度分布曲线。图中的尖峰对应于系统的不稳定周期轨道（UPO）。而不同混沌系统的UPO的分布的差别就可以通过图6中的2维度分布来整体研究。这里由于篇幅限制仅给出一个初步结果，可以用更多的复杂网络拓扑结构统计量对原系统做更深入的研究和刻画。图
9、5 由x 分量构造的复杂网络。Fig.5 Complex network built from x component.图6 x 分量构造的复杂网络的二维度分布Fig.6 2D degree distribution from the complex network built from x component.2 复现时间分析动力学系统的状态复现是混沌系统的一个重要特征。近年来，关于状态复现时间（Recurrence Time）的统计研究表明混沌系统的平均状态复现时间遵循一个幂率关系（power-law）5, 并且这种关系可以用于检测因参数漂移而导致的非平稳性，定位分叉等6。状态复现还广泛应
10、用于混沌时间序列的降噪、预测、及时频分析7，并且能揭示混沌系统的时间拓扑关系。下面对蔡氏电路（Chuas Circuit）模拟产生的数据进行复现时间统计。 对于时间序列，先用时间延迟方法进行相空间重构得到相矢量序列，其中为时间延迟， 为嵌入维数。 然后对于给定的参考相点定义其近邻点集，其中为近邻点集的半径，并把这些近邻点按下标升序排列如下，其中为近邻点的个数（如果所研究的混沌系统具有遍历性，那么参考相点可以任意选取）。这些近邻点为参考相点的庞家莱复现点（Poincare recurrence point）。定义第一类复现时间为：，。对于由连续时间系统得到的时间序列，小的延迟时间会导致同一条近邻
11、轨道（复现轨道）上有多个连续的相点被作为近邻点（如图7）。显然，同一个轨道上的近邻点相互之间的复现时间很短（一个或数个），第一类复现时间并不能很好地表征系统相轨道的复现。为此，可在每个近邻轨道中仅取离参考相点最近的一个相点组成第二类近邻点集。同样把第二类近邻点按下标升序排列并计算下标差值可得第二类复现时间。R1R0R2图7 近邻点集示意图。R0表示参考轨道，R1表示第一条近邻轨道，R2表示第二条近邻轨道，黑点表示参考相点，其他圆点表示第一类近邻点，其中灰点表示第二类近邻点，大圆环表示近邻点集。Fig 7 Schematic of recurrence point.对于由连续时间系统得到的时间序
12、列，研究表明第一类复现时间的均值遵循一个幂率关系：，其中是混沌系统的信息维（information dimension）；第二类复现时间的均值也遵循幂率关系：5。对由蔡氏电路得到的时间序列进行复现时间统计分析得到的结果如图8所示（为方便比较近邻点集半径与重构吸引子大小，在进行相空间重构之前先把时间序列归一化到区间0 1）。图8表明对于蔡氏电路的时间序列，很好地遵循幂率关系（如A所示），其斜率随参考相点而变，这反映了吸引子的不同部位的状态复现频率不同。在半径较大的区间（如所示）也很好地遵循幂率关系。当半径较小时，第一类近邻点集基本上也只能在每个近邻轨道上取一个近邻点，即第一类近邻点集和第二类近邻
13、点集基本一样，故和在较小的区间表现一致。图8 平均复现时间与近邻点集半径之间的幂率关系。Fig.8 The power-law scaling of the mean of recurrence time versus the radius of neighborhood.3 结束语本文对单涡卷蔡氏电路的伪周期时间序列输出进行了非线性时间序列分析。结果表明将序列划分为单个Cycle，并从时域和相空间中进行研究其相关特性，以及对状态复现时间的统计能够更好的揭示和刻画原系统的混沌动力学特性。参考文献1 Chua L O. The genesis of Chuas circuit J . Int .
14、 J . Electron. Commun , 1992 , 46 (4) : 250-257.2 Cruz J M and Chua L O 1993 IEEE. Trans . Circ Syst . 40 614；Corron N J and Hahs D W1997 IEEE. Trans . Circ Syst . 44 373.3 J. Zhang and M. Small. Complex network from pseudoperiodic time series: Topology vs dynamics J. Phys. Rev. Lett., 2006, 96, 238
15、701. 4 J. Zhang, X. Luo and M. Small. Detecting chaos in pseudoperiodic time series without embedding J. Phys. Rev. E, 2006, 73, 016216.5 Gao J. B., Recurrence time statistics for chaotic systems and their applications J. Phys. Rev. Lett., 1999, 83 (6): 3178-3181.6 Gao J. B., Detecting nonstationarity and state transitions in a time series J. Phys. Rev. E, 2001, 63, 066202.7 Sun J., Zhao Y., Nakamura T., M. Small, From phase space to frequency domain: a time-frequency analysis for chaotic time series J. submitted.Nonlinear Time Series Analysis of Single-scroll Chua CircuitJi
