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1、HUN-理科,数学,数学,数学,数学,决胜高考,专案突破,名师诊断,对点集训,【考情报告】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【考向预测】,数列一直是高考的重点与热点.由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它既与中学数学其他部分知识,如:函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系,又有自己鲜明的特征,因此在高考中占有极其重要的地位.以考查数列的通项公式,前n项和及数列的基本性质为主要内容,在试卷中约占12分或17分,一个解答题和一个填空题,或单独一道解答题;小题一般为概念性问题,常用等差数列、等比数列的概念和性质来解决,属于中低档题;而大题的综合性较强,常从数列
2、的递推关系入手,再转化为等差数列和等比数列中的求通项或求和.考查学生数学思维能力和分析、建模,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,1.已知数列an中,a1=1,a2=2,2an+1=2an+3(n2,nN*),判断an是否为等差数列.,【解析】a2-a1=1,a3-a2=,an不是等差数列.,【知能诊断】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,2.(黑龙江省哈六中2012届高三第三次模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且an+1=5Sn-3,a1=1,则an的通项公式是.,【解析】由an+1=5Sn-3,得an=5Sn-1-3(n2),两式相减得an+1-an=5an,即 =6(n2),
3、由a1=1,得a2=2,6,故an=,【答案】an=,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,3.(2012年3月北京市丰台区高三一模)设Sn为等比数列an的前n项和,若a1=1,且2a2,S3,a4+2成等差数列,则数列的前5项和为(),(A)341.(B).(C)1023.(D)1024.,【解析】由2S3=2a2+a4+2,得q=2,则的公比为4,S5=341.,【答案】A,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,4.在公差不为0的等差数列an中,a1,a3,a7成等比数列,S7=35,求数列通项an.,【解析】由S7=35,得=35,即2a1+6d=10,a4=5;,又=a1a7,即(
4、a4-d)2=(a4-3d)(a4+3d),得d=1,故an=a4+(n-4)d=n+1.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,5.(陕西省西安市八校2012届高三年级数学试题)在公差不为0的等差数列an中,a1=-12,且a8,a9,a11成等比数列.,(1)求数列an的公差;,(2)设Sn为数列an的前n项和,求Sn的最小值,并求出此时n的值.,【解析】(1)由a8,a9,a11成等比数列知(a1+8d)2=(a1+7d)(a1+10d),即16a1d+64d2=17a1d+70d2,整理得a1d+6d2=0.,因为d0,所以a1=-6d.从而d=2,即数列an的公差为2.,(2)(法
5、一)由(1)可知Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,因为n2-13n=(n-)2-,且nN+,所以当n=6或7时,n2-13n有最小值-42,因此,Sn的最小值为-42,此时的n为6或7.,(法二)由(1)可知数列an的通项公式为an=2n-14,令an0,得n7.,据数列an单调递增可知,其前6项均为负项,第7项为0,从第8项开始均为正项,所以S6=S7,且均为Sn的最小值,最小值为-42,此时的n为6或7.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,6.已知数列an是首项a1=的等比数列,其前n项和Sn中S3=,求数列 an的通项公式.,【解
6、析】若q=1,则S3=不符合题意,q1.,当q1时,由得,an=(-)n-1=(-)n+1.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,7.(东北四校2012届高三第一次高考模拟)已知an为等比数列,a1=1,a6=243,Sn为等差数列bn的前n项和,b1=3,S5=35.,(1)求an和bn的通项公式;,(2)设Tn=a1b1+a2b2+anbn,求Tn.,【解析】(1)a6=a1q5=243,得q=3,an=3n-1;S5=35,b5=11,又b1=3,得 bn=2n+1.,(2)Tn=31+53+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+(2n-1)3n-1+(2
7、n+1)3n,-得:-2Tn=3+2(3+32+3n-1)-(2n+1)3n,整理得:Tn=n3n.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,1.应用an与Sn的关系解题时,一般要分n=1和n2来讨论,要注意验证能否统一到一个式子中,当a1不符合an=Sn-Sn-1(n2)的表达式时,通项公式必须分段表示.注意隐含条件n2,nN*,要验证是不是从第一项开始.,2.等差数列求Sn最值的结论为:,(1)当a10,d0时,若Sr最大,则应有,(2)当a10时,若Sr最小,则应有,仅解不等式an0是不正确的,仅解an+10也是不正确的.,【诊断参考】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,3.等差、
8、等比数列综合时,要分清谁是等差,谁是等比.灵活运用公式:等差an=am+(n-m)d;等比an=amqn-m,使运算简便.尤其是求通项公式时,不一定求a1,可以利用已知求得am;等比数列不一定求q,求出q3或q2有时可以直接利用,减少运算量.在求等比数列前n项和时,注意分q1,q=1两种情况讨论.,4.用错位相减求和时注意:(1)写出qSn的倒数第二项,以便相减;(2)Sn-qSn的第一项不要丢掉;(3)Sn-qSn的最后一项是减号;(4)用公式求和时要注意项数.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【核心知识】,一、等差、等比数列的概念、判定、公式与性质,名师诊断,专案突破,对点集训,决
9、胜高考,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,二、判断或证明数列是等差(或等比)的方法,1.定义法:验证an+1-an=d(常数)或=q(常数);,2.中项公式法:验证2an=an-m+an+m或=an-man+m;,3.通项公式法:,(1)数列an为等差数列an=An+B(A,B为常数,nN*);,(2)数列an为等比数列an=cqn(c,q均是不为0的常数,nN*).,三、求通项公式的常用方法,1.观察法:找到项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式an;,2.利用前n项和与通项的关系:an=,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,3.公式法:利用等差(比)数列的通项公式;,4.累加
10、法:如an+1-an=f(n),累乘法:如=f(n);,5.转化法:,(1)an+1=Aan+B(A0,A1),可以通过待定系数法an+1+=A(an+),求出,化为等比数列后,再求通项;,(2)an+1=can+rn(c0,r0),可以通过两边除以rn+1,转化为类型(1)求解.,四、数列的常用求和方法,数列求和要先研究数列的通项,根据通项选择方法,化归为基本数列,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,求和.,1.公式法:用等差(比)数列的求和公式;,2.分组求和法:若cn=an+bn,则用分组求和法;,3.错位相减法:若cn=anbn,an是等差数列,bn是等比数列,则用错位相减法;,4
11、.裂项相消法:形如cn=(其中an为等差数列);,5.倒序相加法:若cn=an,m0,n,即数列cn的通项公式是由一个 组合数和等差数列通项公式组成,则一般采用“倒序相加法”.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,五、常用的结论,1.已知等差数列an的前n项和为Sn:,(1)若a10,d0,则当且仅当时,Sn取最大值;,(2)若a10,则当且仅当时,Sn取最小值;,2.常用拆项公式(k,nN*),(1)=-;,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)=(-);,(3)若an是等差数列,公差为d(d0),则=(-);,(4)=(-);,(5)nn!=(n+1)!-n!.,【考点突破】,
12、热点一:数列的概念与性质,数列的概念、性质及其基本量的关系是高考中经常考查的内容,一般出现在选择题、填空题或解答题的第一问,属于容易题或中档题,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,主要考查数列性质的灵活应用及对概念的理解.,(1)(广东省六校2012年2月高三第三次联考)等差数列 an中,已知a3=5,a2+a5=12,an=29,则n为(),(A)13.(B)14.(C)15.(D)16.,(2)(2012年新课标全国)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(),(A)7.(B)5.(C)-5.(D)-7.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【分析】(
13、1)a2+a5不能用等差中项,故用基本量,又已知a3,所以a2+a5=(a3-d)+(a3+2d)=12,求得公差,结合an=29可解.(2)要看清an为等比数列,所以a5a6=a4a7,然后用基本量表示,根据韦达定理构造方程,解方程得出a4,a7的值,或是解方程组;然后求出q3即可,后面直接用q3,减少计算量.,【解析】(1)a2+a5=(a3-d)+(a3+2d)=12,得d=2,an=a3+(n-3)d=29,得n=15.,(2)由题意并根据等比数列的性质得a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,设a4,a7是方程x2-2x-8=0的两根,则解得或故q3=-2或-.当 q3=-2时,
14、a1+a10=+a7q3=-7;同理可知当q3=-时,a1+a10=-7.,故a1+a10=-7,故选D.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【答案】(1)C(2)D,【归纳拓展】关于等差、等比数列的问题,首先应抓住a1、d、q,通过列方程组来解.此方法具有极大的普遍性,需用心掌握,但有时运算,量较大,熟练运用性质或公式特征量可大幅度简化运算.运用an=am+(n-m)d和an=amqn-m可减少运算量.方程思想、分类讨论思想是解决数列的常用思想方法.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练1(1)等差数列an中,a4=10且a3,a6,a10成等比数列,则数列an前20项的和
15、S20=.,(2)(山东省实验中学2012届高三第四次诊断考试)等差数列an中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为.,【解析】(1)由a4=10和a3,a6,a10成等比数列得:,即,解得或,故S20=200或330.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由a4+a10+a16=30得a10=10,a18-2a14=(a10+8d)-2(a10+4d)=-a10=-10.,【答案】(1)200或330(2)-10,(1)(山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中)已 知数列an的通项为an=()n-1()n-1-1,下列表述正确的是(),(A)最大项为0,最小项
16、为-.,(B)最大项为0,最小项不存在.,(C)最大项不存在,最小项为-.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(D)最大项为0,最小项为a4.,(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为.,【分析】(1)先求出数列的前四项,然后计算an+1-an的符号,从而确定数列的单调性,即可求出数列的最大项和最小项.(2)根据S410,S515转化为基本量,减少参数,用一个参数的范围来求a4的范围.,【解析】(1)a1=0,当n1时,0()n-11,()n-1-10,an最大项为a1=0;,a2=()2-1()2-1-1=-;a3=()3-1()3-1-1=-;,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,a4=()4-1()4-1-1=-,an+1-an=()n()n-1-()n-1()n-1-1=()n-1.,当n3时,an+1-an0;n3时,an+1-an0,最小项为a3=-.故选A.,(2)等差数列an的前n项和为Sn,且S410,S515.,即,a13-2d,3-2d,d1.,名师诊断,专案突破,对点集训,
