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1、飞行管理问题,题 目,在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假设条件如下：,假设条件,(1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km； (2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30； (3)所有飞机飞行速度均为800km/h； (4)进入该区域的飞机在达到区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60km以上；
2、(5)最多需考虑6架飞机； (6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。,问 题,请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01）,飞机位置、飞行方向数据,设该区域4个顶点的坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据如表所示：,160km,160km,飞行位置示意图,这表面上是一个有6个控制对象的最优控制问题，控制方案太多，似乎很难寻优。,但仔细分析这并不是空间优化问题，只考虑10000米高空的面包片；因而是平面问题。而实际上对每架飞机而言是一维问题，因为只有旋转角度问题，故有可能简化。,这个有六个控制对象
3、的最优控制问题可以利用平面几何的知识证明两个简单结论,从而转化为非线性优化问题。,早调整一定优于晚调整。这样第六架飞机刚进入正方形时就调整，由于时刻确定，问题就简化为优化问题。,结论一：,证：飞机处于A，飞行方向AB，到达B会与另一架飞机相撞，至少调整到AC才可能避免相撞。若飞行至D再调整，仍需飞向C才可能避免相撞，幅度为BDFBAC，实际幅度为EDBBDF。因此早调整一定优于晚调整。,一次调整到位，优于多次调整。,结论二：,证：分两次调整，幅度BAD+ODC BAO+DAC= BAC。进一步可以用数学归纳法证明一次调整到位优于多次调整。,这样原问题的调整时刻确定，无须考虑时间因素，问题转化为
4、一般优化问题。,一般优化问题的数学模型都是由两部分组成，即优化的目标函数和必须满足的约束条件。 目标函数可以根据实际问题作出多种选择。,一、目标函数,幅度最小用数学语言精确表示，至少有四种函数,表示第i架飞机的调整方向角。,其中，,二、约束条件,表示第i架飞机飞出正方形区域的时刻。,其中，,这个非线性优化问题可以利用物理上的相对运动原理化为一族线性优化问题，即把一个物体看成不动，另一物体对它作相对运动。 因为目标函数是分段线性 的，约束条件是关于坐标的平方，并不是 的非线性函数，因此有可能转化为线性优化问题。,三、非线性模型化为线性模型,Pi,Pj,相对运动及相对速度示意图,利用相对运动原理可
5、以将坐标的非线性约束等价转换为飞行方向角的线性约束。 任给两架飞机 和 ，让坐标系固定在 上， 在新坐标系下的运动即 对 的相对运动，显然， 与 在 相撞（不考虑正方形区域限制）的充要条件是 的方向 见上图，其中 相对速度方向不落在这个扇形内，就一定是安全的。 相对速度方向,禁飞方向扇形,当Pj的飞行方向不变时，因为Vi=Vj=800km/h，所以相对速度Vij方向由Pi的飞行方向角i唯一决定，且根据矢量法则是i的线性函数,因此原来关于坐标的非线性约束转化为飞行方向角增量的线性约束：,或者,或者,目标函数可以从前三个任选一个。这样线性规划模型其中一个如下：,可惜的是，这样的线性规划太多了，有2
6、15个（虽然很多肯定无解，可以不讨论）。,四、由多维问题转化为一维优化问题,或问题的解,或问题的解,一定不能落在这个区间中,由这5个不等式可以定出五个禁飞方向角区间，可在数轴上表示如下：,禁飞方向角度区间示意图,第一种目标函数下肯定要进行调整，因为不调整，第6架飞机与第3、5架飞机相撞,因此至少调整一架且只有调整第6架,否则第6架仍与其中一架飞机相撞,若调整第6架仅有两个方向：逆时针需要调整13.04度,顺时针需要调整8.45度,因此第一种目标函数下最优解为:,调整架次和调整幅度都达到最少。,五、关于其它优化模型的最优解,第二种目标函数为：,约束条件可改写为：,其中任意两架飞机不相撞时的最小调
7、整幅度是六架飞机调整到不撞的调整幅度的下界。,仅讨论第6、3架飞机不相撞，下列不等式必须满足：,所以3.63是6架飞机不相撞的调整幅度的下界。,调整幅度3.63时也可以实现6架飞机不相撞，具体调整方案如下：,因此，六架飞机都不相撞，最小调整幅度为,=3.63,1.下界 同第二种目标函数 仅讨论第三架和第六架飞机 因为 所以，二者当中最大的一个取一半时，达到最小，即,2.最大幅度为1.815也可以使飞机都安全，因为此时第六架飞机的飞行方向角为53.815，不在第五架飞机的禁飞方向区间中，所以与第五架也不相撞，同时第四架飞机从53.0716调整到53.825，与第六架也不相撞，因此都是安全的。,第
8、三种目标函数：,第四种目标函数： 利用禁飞方向角度示意图可得下列不等式：,这是一个非线性规划问题，可以转化为等式条件下的求极值问题。因为第三个目标函数的最优解也是这个问题的可行解，因此平方和的最小值不超过21.8152+0.74342=2.6752,因为最优解中，每架飞机的调整幅度不超过2.675，因此，第三架和第六架飞机的调整方向一定相反，所以二个调整幅度的和一定等于3.63，否则目标函数将变大,故第一个不等式一定成为等式。因为第六架飞机的调整幅度一定大于0.955，所以第五架飞机不调整时，第二个不等式一定成立，这样目标函数是最小的。这时，原问题化为在第三个不等式约束下的二次函数的极值问题，
9、因为驻点不满足约束条件，所以最小值一定在边界达到，即第三个不等式也成为等式。,目标函数变为：,显然 取得最小值,考虑区域限制加上时间轴的假想飞行轨迹图,以时间轴为数轴，飞机的运动轨迹是一根一端位于底面，与底面成一定角度的射线，角度为每小时前进80公里。与一架飞机相撞的区域是一个以这个飞机的运动轨迹为中心线，每个水平截面都是半径为8公里的圆生成的椭圆柱。一架飞机调整后的轨迹一定在以地面一点为锥顶，角度与上述射线角度相同的圆锥面的1/6，这个锥面与椭圆柱相交的部分就是相撞的区域，其在底面的投影s，与锥顶生成的扇形就是禁飞方向扇形。,根据禁飞方向扇形的讨论，因此，S一定是一个连通区域，如果考虑正方形
10、区域的限制，无非是再加上一个长方体的约束，如上图所示。可以证明，加上长方体的约束后，相撞的区域仍然是连通的，与锥顶的连线仍生成一个扇形，至多角度小一些，或保持不变，具体见下表。,禁飞方向区间对比表,S,S,L,W,为了证明，加上长方体的约束，禁飞方向仍然构成一个扇形，只要证明S是一个凸集。在 S的边界任取两点与过这两点的竖直线生成的平面，与椭圆柱的交，应该是一个封闭的区域W，或者是两条平行线形成的无限长的带子。平面与圆锥面的交，应该是S中的一条二次曲线L。如果这条曲线L超出了上述区域W，则超出的部分应该不属于相撞区域，与前面已经证明的禁飞方向构成扇形，是连通的相矛盾。,六、进一步讨论,本题简化有三大步： 第一步，最优控制转化为非线性优化问题，这只利用了平面几何的两个简单结论，总是成立的。 第二步，利用相对运动原理，将非线性优化问题转化为线性规划族问题。 第三步，将线性规划族问题简化为一元一次不等式组，可以图示求解。 第二步可以简化的关键是两架飞机的速度相等，如果飞机速度不等，相对速度方向不再是 的线性函数，因此就不能线性化，更不能简化成一元一次不等式组。建议航空管理局在对空中面包片管理时，让每块面包片中飞机速度基本相同，因而仍可简化为一维问题快速寻优。这时，本文关于四种模型最优解，可行解的讨论及子集，全集最优调整幅度关系仍然正确。,
