四章节均匀反应堆临界理论讲课资料

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1、第四章 均匀反应堆的临界理论,本章研究由燃料和慢化剂组成的有限均匀增殖介质内中 子扩散和慢化问题。反应堆的临界理论重要研究的问题有： 各种形状的反应堆达到临界时的条件，临界时系统的体积大小和燃料成分及其装载量； 临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。 实际的反应堆，由于热工设计、机械设计等方面的要 求，其堆芯是非均匀的，燃料、冷却剂及结构材料在堆芯内 呈分离排列。在进行反应堆理论分析时为了将问题简化，一 般都要对堆芯进行均匀化处理。本章临界理论就是以均匀反 应堆为对象进行研究（所有的燃料、慢化剂及结构材料等均匀混合在一起）。,反应堆内中子的运动规律与中子的能量有非常复杂的依赖 关系

2、。因此，在反应堆的临界理论分析计算中除了要考虑 堆芯几何与材料的复杂性，还要堆芯内各种物理过程与中 子能量的依赖关系。 研究反应堆最常用的方法是多群扩散模型，最简单的是单 群扩散模型。在热中子堆中常用双群扩散模型。 尽管单群理论给出的结果不够准确，但单群理论简单明了， 在一些情况下能给出解析解，有利于初学者掌握和理解分群 扩散理论概念和方法，并且其解带有普遍意义。因此，本章 重点介绍均匀反应堆单群扩散理论的计算，所得到的一般 原理和结果对于非均匀反应堆情况也是适用的。,4.1 均匀裸堆的单群理论,对于无限介质增殖因数的定义, 在单群近似下有 对于燃料和慢化剂组成的均匀增殖堆芯，堆芯内单位时间、

3、 单位体积内的裂变中子源强可写为： 由于无限介质增殖因数的定义，裂变中子源强也可写为： 将裂变源代入（3-34）式并考虑存在独立的中子源 得,4.1.1 均匀裸堆的单群扩散方程的解,选取长宽为无穷大，厚度为a的平板裸堆 0 x 为例(包括外推距离在内)，讨论单群扩散 方程所描述的核反应堆特性。 无外源的情况下，描述平板核反应堆中 子通量密度变化规律的单群扩散方程为 初始条件为： 边界条件为在外推边界处, 中子通量密度为零:,无限平板形反应堆,上式为典型的波动方程， 为方程的特征值， 其解为 A、C为待定常数。由于中子通量对于x=0平面对称, 所以C=0 由边界条件可得中子通量密度满足边界条件

4、得到 或 对应于其中任一 值，满足微分方程和边界条件的解为,对于齐次方程（4.9）只对某些特定的特征值 有解。相应 的解 称为此问题的特征函数。 由于特征函数的正交性，对于每一个n值的项都是线形独立 的，因此对于每一个 值和 ，都有一个 与之对应， 有 或 用 乘上式两边得 其中 为无限介质的热中子寿命， 是热中子的平均自由程。,方程的解为： 其中C为待定常数。这样，对于一维平板反应堆，其中子 通量密度的完全解就是n=1到n=的所有解的求和： 根据问题的初始条件，可以定出系数 。让t=0，可得 利用正交关系，可得 将其带入，可得到无限平板反应堆内的中子通量密度分布为,4.1.2 热中子反应堆的

5、临界条件,以下分几种情况对（4-15）式进行讨论 第一种情况： 对于一定形状和体积的堆芯, 若 对应的 小于1，其它的 都将小于1，这时 都是负值，中子通量密度将随时间指数衰减，因此系统处于次临界状态。,第二种情况： 若 则 这时中子通量密度将随时间指数增长 ,反应堆将处于超临界状态. 第三种情况： 若通过调整堆芯尺寸或改变堆芯材料成分,使 正好等于 1, 则其它的 的值都将小于1. 这时(4-15)式中第一项 与时间无关, 其它各项将随时间衰减.因而时间足够长时n 1 各项将随时间衰减为零. 系统达到稳定, 反应堆处于临界状态.,从以上讨论, 我们得到两个重要结论: 单群裸堆近似的“临界条件

6、”为 这里 是波动方程（4-9）的最小特征值，用 表示并 称其为几何曲率，上式便是单群理论的临界方程。 便是 我们以前定义的有效增殖因子。 当反应堆处于临界时，中子通量密度按最小特征值 所 对应的基波特征函数分布，也即稳态反应堆的中子通量密度 满足波动方程 以上两点告诉我们反应堆临界时，材料的组成，几何形状 及大小之间如何匹配，并表明临界反应堆中中子通量密度 如何分布。,无限平板反应堆的临界条件为： 无限平板反应堆的中子通量密度为： 下面证明 的物理意义就是单群近似下反应堆内 中子的不泄漏率。 这样(4-17)便可以写为: 它与临界条件(1-63)式完全一样。这里的k1就是前面所定义 的有效增

7、殖因子keff。所对应的 为考虑中子泄漏影响后的 中子寿命。,4.1.3几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度分布,球形反应堆 与几何曲率相关的反应堆波动方程为 用球坐标系统考虑一个半径为R的球形裸堆，并将原点 选在球心，通量密度是对称的，所以波动方程变为 其普遍解为： 为满足r趋于零时，通量密度为有限的条件，E=0，所以,根据通量密度在边界处为零的条件，所以我们有： 因此对应于n=1的最小特征值，几何曲率为 与此对应的临界反应堆内中子通量密度分布为： 式中C为常数，它由中子通量密度的归一化条件或反应堆 的输出功率决定。,有限高圆柱体反应堆 在柱对称下中子通量密度只取决于r和z 两个变量，波

8、动方程可写成： 边界条件为： 采用分离变量法求解： 代入波动方程并用 除式中各项得,圆柱体反应堆,可以令左边的两项均等于一个常数有 现求解第一个方程，令 可以得到零阶贝塞尔函数方程 其通解为（其中J0，Y0分别为第一类及第二类零阶贝塞尔函数）,如（4-27）式中右端等于正数， 零阶修正贝塞尔函数方程 它的普遍解为 这里 I0 和K0分别是第一类及第二 类零阶修正贝塞尔函数。 根据边界条件（1）和（2）， I0 和K0及Y0均应从两个解中 消去，所以（4-27）式右端得常数必须为负数。故波动方程 的唯一解为,零阶贝塞尔函数曲线,利用中子通量密度在r=R处的边界条件，即 由图4-3可知，贝塞尔函数

9、J0的第一个零点为2.405, 所以 所以我们得到 现求解方程(4-28), 由前面平板反应堆的讨论可得其解为 其中 圆柱体裸堆的几何曲率为 其中Br2径向几何曲率，Bz2轴向几何曲率。,有限高圆柱体反应堆中子通量密度的分布形式为 常数C由中子通量密度的归一化条件和反应堆的功率确定。 利用求极值的方法可得，在给定Bg2值下，当直径D=1.083H时， 圆柱体反应堆具有最小临界体积。 类试方法可以求出长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度。,几种几何形状的裸堆的几何曲率和热中子通量密度分布,临界时均匀裸堆内的中子通量密度分布只取决于反应堆 的几何形状，而与反应堆的功率大小无关。 临界反应堆内中子通量

10、密度的基波函数特征分布可以在 任意功率水平下得到稳定。 若不考虑工程因素的限制，根据物理原理，反应堆的功 率可以任意大小，一个临界反应堆所发出的功率并无任 何限制。 若已知反应堆功率，我们就可以确定反应堆内中子通量 密度的确切值。反应堆功率可以表示为： 将中子通量密度分布表达式代入上式，可求出常数C。对于 圆柱体体积为,同样对于球形裸堆有 其中,4.1.4 反应堆曲率和临界计算任务,稳态反应堆内中子通量密度的空间分布满足波动方程 Bg2为方程的最小特征值，为几何曲率，对于裸堆，其与反 应堆的几何形状及尺寸大小有关，而与反应堆的材料成分和 性质没有关系。对于处于临界状态的堆芯,它的几何曲率满 足

11、方程(4-17) 另一方面 k、L2等参数仅仅取决于反应堆芯部材料特性，对于一定材料成分的反应堆，便有一个确定的B2值能满足临界方程，我们称为材料曲率，记作Bm2。,对于单群扩散理论，有材料曲率等于 显然材料曲率Bm2反映的增殖材料的特性,它只与反应堆的 材料特性有关,与反应堆的几何形状和尺寸无关。显然，对 于任意给定材料成分和几何尺寸的反应堆，几何曲率不一 定等于材料曲率。 反应堆的临界条件可以写为：反应堆达到临界的条件是材料 曲率等于几何曲率，即 对于裸堆，临界条件可写成：,材料曲率描述堆芯内核材料的使用情况即:中子在堆芯内产生 率高出吸收率的程度。几何曲率描述堆芯的几何尺寸即：反 映中子

12、泄漏的程度。 材料曲率等于几何曲率说明：当多余的中子产生率正好被 泄漏率抵消时，系统正好处于临界状态。 在一般情况下，对于给定尺寸和材料的反应堆，其几何曲率 不一定等于它的材料曲率。若 这时k1, 反应堆 处于超临界，若 反应堆处于次临界状态。,反应堆临界计算问题可以归纳为下面两个问题： 第一类问题：给定反应堆材料成分，确定它的临界尺寸。 第二类问题：给定反应堆的形状及尺寸，确定临界时 反应堆的材料成分。 在具体计算中，有时不仅反应堆材料成分而且几何尺寸 已给定，需要确定堆芯的有效增值因子或反应性。 或 通常称为反应性。对于临界反应堆，=0； 若0，超临界； 0，反应堆处于次临界。| |表示反

13、应堆偏离临界状态的 程度。,4.1.5 单群理论的修正,单群是一种非常近似的方法。对于热中子反应堆，直接应用（4-17）或（4-44）进行计算将有比较大误差。 用M2=L2+ 来替换式中的L2，可以改善计算结果。这样临界条件和材料曲率可以改写为： 这就是热中子反应堆的修正 单群理论。,修正单群理论能改善计算结果, 从物理上可以做如下解释： 单群理论中将堆芯中的中子按热中子对待,没有考虑慢化 过程中中子的泄漏。反应堆内，实际上裂变中子在慢化成 热中子以前已移动了距离， 与中子由裂变产生到 被吸收所穿行距离的均方值有关，所以用徙动面积 代替L2,便可以初步地考虑慢化过程对泄漏的影响，进而， 改善计

14、算的精度。 以后，提到单群理论时，我们一般是指修正的单群理论公式。,4.2 有反射层反应堆的单群扩散理论,4.2.1 反射层的作用 实际的反应堆都有不同厚度的反射层，包围在反应堆芯部 外面用以反射从芯部泄漏出来的中子材料称为反射层。反射 层的作用为： 减少芯部中子的泄漏，从而减小芯部的临界体积和质量，节省一部分核燃料。 提高反应堆的平均输出功率，这是由于反射层的存在，芯部中子通量密度分布比裸堆的中子通量密度分布更加平坦。,反射层材料的选择： 反射层材料散射截面要大，有利于逃出芯部的中子反射回来。 反射层材料吸收截面要小，减少对中子的吸收。 良好的慢化能力，以便有返回堆芯的中子具有较低能量。 良

15、好的慢化材料通常也是良好的反射层材料： 热中子堆常用的反射层材料有： H2O, D2O, 石墨等。,4.2.2 一侧带有反射层的反应堆,有反射层的反应堆是多区问题，不同区材料不同，扩散方 程也不同。用角标“c”及“r”表示芯部及反射层的参数。 芯部稳态单群扩散方程 当反应堆处于稳态（临界），由（4-2）得到芯部中子扩 散方程为： 该方程只有对于临界系统才成立。对于任意给定材料成分及几何形状与尺寸的反应堆系统，它不一定处于稳态。引入 一个特征参数k来进行调整使其达到临界。,方程可以改写为： L2c 为芯部的扩散长度。可以证明k就是系统的有效增殖因数 keff。从上式中求解k并积分，注意到 这就是单位时间里从堆芯表面泄漏出去的中子数。,反射层的稳态单群扩散方程 反射层里没有增殖材料，由(3-47)反射层的扩散方程为： Lr为反射层的扩散长度。 边界条件为： 在芯部或反射层的交界面上 在芯部或反射层的外推边界上中子通量密度为零,1.带反射层的球形堆 考虑一个芯部半径为R，带厚度为T的反射层的球形堆。 根据芯部中子通量为有限值的条件，芯部方程的解为： 反射层方程解： 根据反射层外推边界r=R+T处中子通量密度为零，有 所以反射层方程解变为： 两个解中的常数A和C可以由芯部和反射层的边界条件确定。,