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1、简单的线性规划问题 学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性 规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 知识点一线性规划中的基本概念 名称意义 约束条件关于变量x，y 的一次不等式(组) 线性约束条件关于 x，y 的一次不等式(组) 目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x， y 的函数解析式 线性目标函数关于变量x，y 的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解(x，y) 可行域由所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 知识点二线性规划
2、问题 1目标函数的最值 线性目标函数zaxby (b 0)对应的斜截式直线方程是y a bx z b，在 y 轴上的截距是 z b，当 z 变化时，方程表 示一组互相平行的直线 当 b0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当 b0 时，要使zyax 取得最大值的最优解不唯一，则a2； 当 a0 时，要使zyax 取得最大值的最优解不唯一，则a 1. (2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z3xy，即 y 3xz过点 (0,1)时 z 取最小值 1. 题型二非线性目标函数的最值问题 例 2设实数 x，y 满足约束条件 x y20， x 2y40， 2y
3、30， 求 (1)x 2 y2 的最小值； (2) y x的最大值 解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC， (1)令 u x 2 y2，其几何意义是可行域 ABC 内任一点 (x，y)与原点的距离的平方 过原点向直线x2y40 作垂线 y2x，则垂足为 x2y 40， y2x 的解，即 4 5， 8 5 ， 又由 x2y40， 2y30， 得 C 1， 3 2 ， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|1 3 2 213 2 ， 所以， x 2 y2 的最小值为 13 4 . (2)令 v y x，其几何意义是可行域 ABC 内任一点 (x，y)与原点
4、相连的直线l 的斜率为v，即 v y0 x0.由图形可知， 当直线 l 经过可行域内点C 时， v 最大， 由(1)知 C 1， 3 2 ， 所以 vmax 3 2，所以 y x的最大值为 3 2. 跟踪训练2已知 x，y 满足约束条件 x0， y0， xy 1， 则(x3)2y2的最小值为 _ 答案10 解析画出可行域 (如图所示 ) (x3)2y2即点 A(3,0)与可行域内点(x， y)之间距离的平方 显然 AC 长度最小， AC 2(03)2(10)210，即 (x3)2y2 的最小值为10. 题型三线性规划的实际应用 例 3某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1 桶需耗 A 原
5、料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元公司在生产这 两种产品的计划中，要求每天消耗A， B 原料都不超过12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙 两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为z元，于是有 x 2y12， 2xy12， x 0，y0， x N，yN， z300 x 400y， 在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 300 x 400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)
6、时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此 时 z300 x400y 取得最大值， 最大值是z 300440042 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800 元 反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：分析并根据已知数据列出表格；确定线性约束条件；确定线 性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数(直线 )求出最优解；实际问题需要整数解时，应适当调整， 以确定最优解 跟踪训练3预算用 2 000 元购买单价为50 元的桌子和20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但 椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解设桌子、椅子分别买x 张、 y 把，目标
7、函数z xy， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为 由 50 x20y 2 000， y x， 解得 x 200 7 ， y 200 7 ， 所以 A 点的坐标为 200 7 ，200 7 . 由 50 x20y 2 000， y 1.5x， 解得 x25， y75 2 ， 所以 B 点的坐标为25， 75 2 . 所以满足条件的可行域是以A 200 7 ，200 7 ， B 25， 75 2 ， O(0,0)为顶点的三角形区域(如图 ) 由图形可知，目标函数zxy 在可行域内的最优解为B 25， 75 2 ， 但注意到x N *，y N*， 故取 x25， y37. 故买桌子25 张，
8、椅子37 把是最好的选择 1若直线y2x 上存在点 (x，y)满足约束条件 xy30， x2y 30， xm， 则实数 m 的最大值为 () A 1 B1 C.3 2 D2 2某公司招收男职员x 名，女职员y 名， x 和 y 需满足约束条件 5x11y 22， 2x3y9， 2x11， xN *，yN*， 则 z 10 x10y 的最大值 是() A80 B85 C90 D95 3已知实数x，y 满足 y1， x1， xy1， 则 zx 2 y2 的最小值为 _ 一、选择题 1若点 (x, y)位于曲线y|x|与 y2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值为 () A 6 B 2 C0 D
9、2 2设变量x，y 满足约束条件 x1， xy4 0， x3y40， 则目标函数z3xy 的最大值为 () A 4 B0 C.4 3 D4 3实数 x，y 满足 x1， y0， xy0， 则 zy1 x 的取值范围是() A1,0 B(， 0 C 1， ) D1,1) 4 若满足条件 xy0， xy20， ya 的整点 (x， y)(整点是指横、 纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，则整数 a 的值为 () A 3 B 2 C 1 D0 5已知 x，y 满足 x1， xy4， xbyc0， 目标函数z2xy 的最大值为7，最小值为1，则 b，c 的值分别为 () A 1,4 B 1， 3 C 2
10、， 1 D 1， 2 6已知 x，y 满足约束条件 xy5， xy50， x3， 使 zxay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 () A 3 B3 C 1 D1 二、填空题 7若 x，y 满足约束条件 x2， y2， xy 2， 则 z x2y 的取值范围是_ 8已知 1xy4 且 2xy 3，则 z2x 3y 的取值范围是 _(答案用区间表示) 9已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组 0 x2， y2， x2y 给定若 M(x，y)为 D 上的动点，点A 的坐 标为 (2，1)，则 zOM OA 的最大值为 _ 10满足 |x|y|2 的点 (x，y)中整点 (横
11、纵坐标都是整数)有_个 11设实数x，y 满足不等式组 xy20， 2xy50， xy40， 则 z|x 2y4|的最大值为 _ 三、解答题 12已知 x， y 满足约束条件 x 4y 3， 3x5y25， x1， 目标函数z 2xy，求 z 的最大值和最小值 13设不等式组 xy110， 3xy30， 5x3y90 表示的平面区域为D.若指数函数ya x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的 取值范围 14 某家具厂有方木料90 m 3， 五合板 600 m2， 准备加工成书桌和书橱出售 已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3， 五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板
12、 1 m2，出售一张方桌可获利润80 元，出售一个书橱可获 利润 120 元 (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 当堂检测答案 1答案B 解析如图， 当 y2x 经过且只经过x y30 和 xm 的交点时， m 取到最大值，此时，即(m,2m)在直线 xy3 0 上， 则 m 1. 2答案C 解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分由于 x， yN *， 计算区域内与11 2 ， 9 2 最近的点为 (5,4)， 故当 x5，y4 时， z 取得最大值为90. 3答案 1 2 解析 实数 x，y 满足
13、的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故 zmin 1 2 21 2. 课时精练答案 一、选择题 1答案A 解析画出可行域，如图所示，解得A(2,2)，设 z2xy， 把 z2xy 变形为 y2xz， 则直线经过点A 时 z取得最小值； 所以 zmin2(2)2 6，故选 A. 2答案D 解析作出可行域，如图所示 联立 xy40， x3y40， 解得 x2， y2. 当目标函数z3xy 移到 (2,2)时， z3xy 有最大值4. 3答案D 解析作出可行域，如图所示， y1 x 的几何意义是点(x，y)与点 (0,1)连线 l 的斜率， 当直线 l 过 B
14、(1,0)时 kl最小， 最小为 1.又直线 l 不能与直线x y0 平行， kl1.综上， k1,1) 4答案C 解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a0 时，只有4 个整点 (1,1)，(0,0)，(1,0)， (2,0)当 a 1 时，正好增加( 1， 1)，(0， 1)，(1， 1)，(2， 1)， (3， 1)5 个整点故选C. 5答案D 解析由题意知，直线x byc0 经过直线2xy7 与直线 x y4 的交点，且经过直线2xy1 和直线 x 1 的交点，即经过点(3,1)和点 (1， 1)， 3 bc0， 1 bc0， 解得 b 1， c 2. 6答案D 解析如图，
15、作出可行域，作直线l：xay0，要使目标函数zxay(a0)取得最小值的最优解有无数个， 则将 l 向右上方平移后与直线xy5 重合，故a1，选 D. 二、填空题 7答案2,6 解析如图，作出可行域， 作直线 l：x2y0， 将 l 向右上方平移，过点A(2,0) 时，有最小值2，过点 B(2,2)时，有最大值6，故 z 的取值范围为2,6 8答案3,8 解析作出不等式组 1 xy4， 2xy3 表示的可行域，如图中阴影部分所示 在可行域内平移直线2x3y0， 当直线经过xy2 与 xy4 的交点 A(3,1)时，目标函数有最小值zmin23313； 当直线经过xy 1 与 xy3 的交点 B
16、(1， 2)时，目标函数有最大值zmax213 28. 所以 z3,8 9答案4 解析由线性约束条件 0 x2， y2， x2y 画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z OM OA 2xy，将其化为y2xz，结 合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时， z最大，将点 (2，2)代入 z2xy，得 z 的最大值为4. 10答案13 解析|x|y|2 可化为 作出可行域为如图正方形内部(包括边界 )， 容易得到整点个数为13 个 11答案21 解析作出可行域 (如图 )，即 ABC 所围区域 (包括边界 )，其顶点为A(1,3)，B(7,9)，C(3,1) 方法一可行域内的点都在直线x2y40 上方， x2y40， 则目标函数等价于zx2y4， 易得当直线zx2y 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值zmax21. 方法二z|x2y4|x2y
