第三章_通信原理《随机过程

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1、在通信系统中，随机过程是非常重要的数学工具。因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性，它们不能用一个确定的时间函数来表示，而必须根据随机过程的理论来描述。 本章在介绍随机过程的分布及其数字特征等基本概念的基础上，着重介绍通信系统中常见的几种重要的随机过程的统计特性，以及随机过程通过线性系统的情况。,第三章 随机过程,3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程(了解） 3.6 正弦波加窄带高斯噪声（了解） 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结,主要内容：,一、随机过程,二、随机过程的分布函数,三、随机过程

2、的数字特征,3.1 随机过程的基本概念,一、随机过程 什么是随机过程？,我们以通信机为例，理解随机过程的定义。,角度1：随机过程是所有样本函数的集合。,随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。随机是指取值不定，仅有取某值的可能而无确切的取值；过程是指其为时间t的函数。 可从两种不同角度看：,例如：有N台性能完全相同的通信机,工作条件相同,用n部记录仪同时记录它们的输出噪声。,N部通信机的噪声输出记录,测试结果表明，得到的n张记录图形并不因为有相同的条件而输出相同的波形。恰恰相反，即使n足够大，也找不到两个完全相同的波形。这就是说，通信机输出的噪声电压随时间的变化是不可

3、预知的，因而它是一个随机过程。,因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。,测试结果的每一个记录，都是一个确定的时间函数 ，称之为样本函数或随机过程的一次实现。全部样本函数构成的总体 ，就是一个随机过程，记作 。,角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时刻观察各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。,即随机过程在任意时刻上的取值是一个随机变量。,因此，我们得到随机过程的另一种定义:随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。,随机过程的定义： 角度1：随机过程是所有样本函数的集合。,角度2：随机过程是在时间进程中处于

4、不同时刻的随机变量的集合。,随机过程的基本特征：首先它是时间的函数，其次它在任意时刻上的取值是一个随机变量。,思考：随机变量与随机过程有啥区别和联系？,随机变量的样本是一个实数值的集合；而随机过程的样本是时间函数的集合。 随机过程在某一确定时刻的值是一个随机变量。,二、随机过程的分布函数,设 表示一个随机过程 ，则在任一时刻 上的值 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。并把它们定义为随机过程的一维分布函数和一维概率密度函数。,一维分布函数：,一维概率密度函数：,一维分布函数：,一维概率密度函数：,一般情况下：,和 即是 的函数，又是时间 的函数。很显然，一维分布函数及

5、一维概率密度函数仅仅表示了随机过程在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分，通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。,(t)的n维分布函数:,(t)的n维概率密度函数:,n越大，对随机过程的描述越充分。,三、随机过程的数字特征,在大多数情况下，往往不容易或不需要确定随机过程的整个统计特性，而只需要知道它的一些数字特征就可以了。,随机过程的数字特征是由随机变量的数字特征推广而得到的，其中最常用的是均值（数学期望）、方差和相关函数。,1、均值（数学期望）,设随机过程 在给定瞬时的值为 ，它是一个随机变量，它对应的概率密度函数为 ，其数学期望 ，显然 是时间 的函数，由于 是任意指定

6、的，直接写为 ，则上式改写为：,上式定义为随机过程的均值（数学期望）。显然它是时间 的函数，记为：,上图画出了3个样本函数（细线）及它的数学期望（实线）。均值表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 。,a (t ),2、方差：,它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度，是一维统计特性，总是正数。,随机过程的方差为：,显然，方差也是时间 的函数，记为;,因为：,所以随机过程的方差也等于随机过程均方值减去均值的平方。,即：,均方值,均值平方,方差,数学期望和方差是随机过程的重要数字特征，但它们仅与随机过程的一维概率密度函数有关。只描述了随机过程在各个孤立时刻的特性。为了衡量随机过程在任意

7、两个时刻上获得的随机变量之间的而关联程度，常采用相关函数或协方差函数。,3、相关函数,是二维概率密度函数。,（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程(t)在任意两个时刻t1和t2，相对均值的起伏量之间的相关程度。,(2)随机过程的相关函数：,、 是随机过程 在任意两个时刻 和 上的两个随机变量。,是二维概率密度函数。,协方差函数、 相关函数体现了随机过程的二维统计特性。,(3) 协方差函数与 相关函数的关系：,若随机过程的数学期望为零，则协方差函数与相关函数是相同的。即使数学期望不为零，协方差函数与相关函数尽管形式不同，但它们所描述的随机过程内部联系的效果是相同的。本书将采

8、用相关函数。,（4）互相关函数：,互概率密度或联合概率密度。,如果把相关函数的概念引伸到两个随机过程中，就得到互相关函数，它的定义如下：,相应的衡量同一过程的相关函数称为自相关函数。,习题3-2 设随机过程 可表示为 式中 是一个离散随机变量，且 、 ，试求 和 。,习题3-2 设随机过程 可表示为 式中 是一个离散随机变量，且 、 ，试求 和 。,代表求 时 的数学期望。,解：,代表求 时 的自相关函数。,习题3-2 设随机过程 可表示为 式中 是一个离散随机变量，且 、 ，试求 和 。,代表求 时 的自相关函数。,3.2平稳随机过程,一、定义,二、各态历经性,三、平稳过程的自相关函数,四、

9、平稳过程的功率谱密度,平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程，它在通信系统的研究中有着极其重要的意义。,一、平稳随机过程的定义,平稳随机过程：若随机过程n维分布函数或概率密度函数与时间的起点无关，即:,则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。,如果已知某随机过程是严平稳的，下面来研究它的一维分布函数和一维概率密度函数。,根据平稳的定义,一维分布函数与一维概率密度满足:,这就是说平稳随机过程的一维分布和概率密度与时间是无关的。上述表示式中的t可以省略，因此：平稳随机过程的一维分布和概率密度可分别简化为： 和,同理，二维分布只与时间间隔有关。,结论：平稳随机过程的： 一维

10、分布与时间无关。 二维分布仅与时间间隔有关。,随着分布函数和概率密度的简化，平稳随机过程的数字特征也可以相应地得到简化。,平稳随机过程的均值：,即平稳随机过程的均值为常数。,平稳随机过程的方差：,即平稳随机过程的方差为常数。,平稳随机过程的自相关函数：,即平稳随机过程的自相关函数仅仅是时间间隔 的函数。,结论：平稳随机过程的均值（和方差是与时间t无关的常数，自相关函数只是时间间隔的函数，而与所选取的时间起点无关。,在工程中，我们常用这两个条件来直接判断随机过程的平稳性，并把同时满足均值为常数、自相关函数只与时间间隔 有关的随机过程定义为广义平稳随机过程。,显然，严平稳必定是广义平稳，反之不一定

11、成立。,在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多可视为平稳的随机过程。以后的讨论除特殊说明，均假定是广义平稳的，简称平稳。,下面我们来看一道例题，来判断一个随机过程是否是平稳随机过程？,例题：某随机过程是一个幅度、角频给定的正弦波， 其相位值是随机的，即 式中： 与 为常数， 在 内均匀分布随 机变量，试证明其为广义平稳过程。,例题：某随机过程是一个幅度、角频给定的正弦波， 其相位值是随机的，即 式中： 与 为常数， 在 内均匀分布随 机变量，试证明其为广义平稳过程。,解：按广义平稳的定义，只要证明均值为常数且自相关函数仅与时间间隔有关即可。,可见，其均值为常数，自相关函数仅与时间间隔有关，此随机

12、过程为广义平稳随机过程。,思考：为什么均值为常数，自相关函数仅与时间间隔有关，就可判断此随机过程为广义平稳随机过程。而不用考虑方差呢？,已经证明了均值为常数，自相关函数仅与时间间隔有关。,也为常数。,二、各态历经性,我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。因此我们自然会想到能否由一次试验而得到的样本函数来决定平稳过程的数字特征呢？回答是肯定的。平稳过程在满足一定条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为各态历经性。,各态历经性条件 设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为

13、： 如果平稳过程使下式成立 则称该平稳过程具有各态历经性。,也就是说，平稳过程的统计平均等于它的任一实现的时间平均值，则称该平稳过程具有各态历经性。,注意：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。 在通信系统所遇到的随机信号与噪声，一般均能满足各态历经条件。,“各态历经”的含义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均时，无需多次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均值”即可，从而使测量和计算大为简化。,三、平稳过程的自相关函数,前面已经提到，平稳随机过程的自相关函数仅仅是 的函数，因此它的自相关函数有如下表示式：,它描述了平稳

14、随机过程在相隔 的两个瞬间的相关程度，它具有如下性质：,(1) 的统计平均功率。,证明：,令：,(3) ,即自相关函数在 时有最大值。,可根据 来证明。,(4) ,即为平稳随机过程的直流平均功率。,（5） 即为平稳随机过程的交流平均功率。,可见，平稳随机过程的自相关函数与均值，方差及功率有一定的关系。尤其是与平稳随机过程的功率谱密度之间有一个更重要的实用的关系。,下面我们就来看一下平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间的关系。,对于确定信号,我们常在时域和频域中来分析和讨论问题。确定信号的自相关函数与其功率谱之间是一对傅立叶变换对。（见信号与系统） 对于平稳随机信号，可以证明也有同样的对应关

15、系。,四、平稳过程的功率谱密度,上述关系通常称为随机过程的维纳欣钦定理。,即：,在维纳欣钦关系的基础上，我们得到以下结论：,（1）对功率谱密度进行积分，可得到平稳过程的总功率：,（2）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。,（3）功率谱密度具有非负性和实偶性。,例题：已知某平稳随机过程 ，其 中， 在 内均匀分布，求它的功率谱密度及功 率。,解：,则功率：,3.3 高斯随机过程,一、高斯随机过程的定义,二、重要性质,三、高斯随机变量,高斯过程，也称正态随机过程,是通信领域中最重要也是最常见的一种过程。通信中的大多数噪声都是高斯型的。本节将介绍一些有用的高斯过程的性质。,如

16、果过程的任意n维分布服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。其n维概率密度函数为：,一、高斯随机过程的定义,式中，,归一化协方差矩阵的行列式，即,行列式 中元素 的代数余因子；,归一化协方差函数：,二、重要性质,（1）由定义式可以看出，高斯过程的n维分布只依赖各随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。,（2）广义平稳的高斯过程也是严平稳的。,即它们也是统计独立的。,（3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有 有 ，这时有：,（4）高斯过程经过线性系统后仍是高斯过程。,高斯过程在任一时刻的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量。其一维概率密度函数为：,三、高斯随机变量,式中： 和 分别为高斯随机变量的均值和方差。,可由下图表示。,（1） 对称于 这条直线，即有：,（2） 在 内单调上升，在 内单调下 降，且在点a处达到极大值