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1、任 意 角 的 三 角 函 数,我们知道的是很少的，我们不知道的是无限的。,What we know is not much. What we do not know is immense.,知识综述,锐角三角函数的定义 任意角的三角函数的定义 三角函数的定义域 终边相同的角的同名函数值的关系 三角函数线 三角函数值的符号 同角三角函数的基本关系,锐角三角函数,o,复习引入,o,M,P,对边,邻边,斜边,a,b,c,如图所示，在直角三角形中， 是直角。角 的对边是 a ，邻边是 b ，斜边是c ，则有,坐标系内的三角函数,O,x,以O为原点，邻边OM所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系
2、。点P的坐标为(x,y)，点p到原点的距离为r。你能利用点p的坐标来定义三角函数吗？,y,M,x,y,r,将直角三角形OMP放在直角坐标系中,我们已经学习过锐角的三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值的函数，定义了角 的正弦、余弦、正切的三角函数；也得出了坐标系内的三角函数。本节课我们研究当角 是任意角时的三角函数,任意角的三角函数的定义,任意角的三角函数定义,以任意角 的顶点为原点，角 的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系xoy，在 的终边上任意取一点P(x,y)，设点P到原点的距离是r，则有,(本节重点),正弦：,余弦：,正切：,我们规定：,上述比值的大小仅随角 的大小的改
3、变而改变。因此，这些比值都是角 的函数，它们都是三角函数。,只要知道角 的终边上任一点的坐标，便可求出它的三角函数值,r,r,r,r,例1,已知角 的终边经过点p(3,-4)，求 的正弦、余弦、及正切函数值。,p,(3,-4),解：,由点 可知,根据三角函数的定义可得：,（利用定义求解）,巩固练习：,（1）已知角的终边过点p(3,-4),则sin =,cos = ，tan = 。,（2）若角的终边上有一点p(5a,-12a)(a0)， 则sin tan 的值是（ ） A. B. C. D.,提问：,对于确定的角 这三个比值的大小和点 P 在角 的终边上的位置是否有关呢？,P1,P2,P3,P4
4、,P3(x3,y3),P4(x4,y4),P2(x2,y2),P1(x1,y1),A1,A2,A3,A4,P,?,三角函数值与点P在终边上的位置无关,只与角的大小有关.,如上图示：o A1 P1 o A2 P2 o A3 P3 o A4 P4,三角函数是以实数为自变量的函数,角度数,一一对应,弧度数,一一对应,即是实数,实 数,三角函数的定义域,由 , 知，无论 的终边在 什么位置，因为r 恒大于零,所以 和 都 存在。即角 取任何值sin 和 都有意义。 故sin 和 cos 的定义域都是R,由tan = 知，由于分母不能为零，所以角 的终边不 能在y轴上， 即 ,k Z 。 故tan 的
5、定义域是,2.三个三角函数的定义域,提问,1、终边在同一个位置的角有多少个？,2、终边在同一位置的角，同名函数值是否相等？（引导学生思考定义，由定义得出结论）,有无数个,P,终边相同的角同名三角函数值相等。,例二,求角3900和 的正弦、余弦及正切函数值,解：,正、余弦函数的值域,借助单位圆，利用正弦线、余弦线求值域,x,y,A,B,正弦线,余弦线,当角 的终边不在坐标轴上时，我们把OA,AP都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段。由正弦、余弦函数的定义知：,正弦线,余弦线,当角的终边在轴上时，正弦线变成一个点，余弦线等于单位圆的半径1.即,X,当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，
6、正弦线等于单位圆的半径1即,Y,有向线段AP叫做正弦线，有向线段OA叫做余弦线,正、余弦函数的值域：,练一练,求下列各角的三个三角函数值,（1）900,（2）1800,（根据定义）,特殊角的三角函数值,你知道吗？,特殊角的三角函数值,三角函数值的符号,在平面直角坐标系中，象限内点的坐标正负规律如下图所示。,4、三角函数在各象限内的符号,+,+,-,-,-,-,-,-,+,+,+,+,口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。,由三角函数的定义可知：,例三,确定下列三角函数值的符号,（1）,（2）,（3）,点评：先判断角所在的象限；然后，判断符号,练习,1、若sin0，则角是第 象限角,2、若sin
7、=，且角的终边过点N(-1,y),则角是（ ）,A.第一象限角 B.第二象限角,C.第一或第二象限角 D. 第二或第三象限角,同角三角函数的基本关系式,根据三角函数的定义， 只要 ， 则,注意：上述基本关系式的变式 有几种？,例四,已知sina=3/5,且a是第二象限的角，求cosa和tana的值。 点评 ：（1）利用平方关系求余弦 （2）再利用商数关系求正切,反馈练习,已知 ，求 和 的值,例五,化简下列三角函数式： （1）,（2）,点评：（1）利用平方差公式和平方关系变形化简 （2）将切化成弦，再进行化简,反馈练习,化简下列三角函数式： （1）,（2）,小结,三角函数的定义是本节的重点，由定义可得到三角函数定义域和值域及终边相同的角的同名函数值的关系。 由三角函数的定义也可得出三角函数在各象限内的符号；同样，也可推导出同角三角函数的基本关系式,奇文共欣赏疑义相与析！,再见,
