《2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义：第九章 平面解析几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义：第九章 平面解析几何（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、压轴题目突破练平面解析几何A 组专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1 已知两条直线 l1：yx，l 2：axy0，其中 a 为实数，当这两条直线的夹角在内变动时， a 的取值范围是(0，12)()A(0,1) B.(33，3)C. (1 ， ) D(1 ， )(33，1) 3 3答案C解析直线 l1 的倾斜角为 ，依 题意 l2 的倾斜角的取值范围为 ，即4 (4 12，4) (4，4 12) ，从而 l2 的斜率 a 的取值范围为 (1， )(6，4) (4，3) ( 33，1) 32 若圆(x3) 2(y 5) 2r 2 上有且只有两个点到直线 4x3y20 的距离等于 1，则半径
2、r 的取值范围是 ()A(4,6) B4,6) C(4,6 D4,6答案A解析因为圆心(3，5)到直 线 4x3y20 的距离为 5，所|43 3 5 2|42 32以当半径 r4 时，圆上有 1 个点到直 线 4x3y20 的距离等于 1，当半径 r6 时， 圆上有 3 个点到直线 4x3y 20 的距离等于 1，所以圆上有且只有两个点到直线4x3y20 的距离等于 1 时， 40，b0)与抛物线 y28x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一x2a2 y2b2个交点为 P，若|PF|5，则双曲线的渐近线方程为 ()Ay x By x333Cy x Dy x222答案A解析设点 P(x0，y0
3、)依 题意得，焦点 F(2,0)，Error!于是有 x03，y 24；20Error!由此解得 a21，b 23 ，因此该双曲线的渐近线方程是 y x x.ba 34 已知抛物线 y28x 的焦点 F 到双曲线 C： 1(a0，b0)渐近线的距离为 ，y2a2 x2b2 455点 P 是抛物线 y28x 上的一动点， P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0，c )的距离与到直线x2 的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的方程为 ()A. 1 By 2 1y22 x23 x24C. x 21 D. 1y24 y23 x22答案C解析由题意得，抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)，双曲线 C：
4、1(a0，b0)的一条渐近线的方程为 axby0，y2a2 x2b2抛物线 y28x 的焦点 F 到双曲 线 C： 1(a0 ，b0)渐近线的距离为 ，y2a2 x2b2 455 ，a2b.2aa2 b2 455P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0，c)的距离与到直线 x2 的距离之和的最小值为 3，|FF 1| 3， c249，c ，5c 2a 2b 2，a2b，a2， b1.双曲线的方程为 x 21，故选 C.y245 已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F1 且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P、Q 两点，若PF 1F2 为直角三角形，则椭圆 E 的离心率为 ()A.
5、B. C. D.53 23 23 13答案A解析由题意可知，F 1PF2 是直角，且 tanPF 1F22， 2，|PF2|PF1|又|PF 1| |PF2| 2a，|PF 1| ，|PF2| .2a3 4a3根据勾股定理得 2 2(2c) 2，(2a3) (4a3)所以离心率 e .ca 53二、填空题6 如果 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，那么它的半焦距 c 的取值范围是x2k 2 y21 k_答案(1，)解析将原方程化成标准方程为 1.y2k 1 x2k 2由题意知 k10 且 k20，解得 k2.又 a2k1，b 2k2，所以 c2a 2b 22k31，所以 c1，故半焦距 c 的
6、取值范围是(1 ，) 7 若点(3,1) 是抛物线 y22px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则p_.答案2解析设弦两端点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则Error!，两式相减得， 2.y1 y2x1 x2 2py1 y2又y 1y 22，p2.8 已知抛物线 x24y 的焦点为 F，经过 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，则以 AB 为直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小值是_答案2 3解析由抛物线定义得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦 长的最小值 设以 AB 为直径的圆的半径为 r，则|AB|2 r
7、4，r2，且圆心到 x 轴的距离是 r1，所以在 x 轴上所截得的弦长为 22 2 ，即弦长的最小值是 2 .r2 r 12 2r 1 3 3三、解答题9 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，一个长轴顶点为 (0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l 与 y 轴交于点 P(0，m )，与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A，B，且 2 .AP PB (1)求椭圆的方程；(2)求 m 的取值范围解(1)由题意，知椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆方程为 1(ab0)，y2a2 x2b2由题意，知 a2，bc，又 a2b 2c 2，则 b ，2所以椭圆方程为 1.y24 x22
8、(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 题意，知直线 l 的斜率存在，设其方程为 ykxm，与椭圆方程联立，即Error!消去 y，得(2k 2)x22mkxm 240，(2mk) 24(2k 2)(m24)0，由根与系数的关系，知Error!又 2 ，即有(x 1，my 1)2( x2，y2m )，AP PB 所以x 12x 2.则Error!所以 2 2.m2 42 k2 (2mk2 k2)整理，得(9m 24)k 282m 2，又 9m240 时等式不成立，所以 k2 0，得 0.8 2m29m2 4 49所以 m 的取值范围为 .( 2， 23) (23，2)10已知中心在原
9、点的椭圆 C： 1 的一个焦点为 F1(0,3)，M( x,4)(x0)为椭圆 C 上一x2a2 y2b2点，MOF 1 的面积为 .32(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在平行于 OM 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且以线段 AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解(1)因为椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,3)，所以 c3，b 2 a29，则椭圆 C 的方程为 1，x2a2 y2a2 9因为 x0，所以 SOMF 1 3x ，解得 x1.12 32故点 M 的坐标为(1,4) 因为点 M(1,4)在椭圆上，所以 1，得
10、 a48a 290，1a2 16a2 9解得 a29 或 a21(不合题 意，舍去)，则 b29918，所以椭圆 C 的方程为 1.x29 y218(2)假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y4xm(因为直线 OM 的斜率 k4)，由Error!消去 y 化简，得 18x28mxm 2180.进而得到 x1x 2 ，x1x2 .8m18 m2 1818因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，所以 (8m)2 418(m218)0，化简得 m2b0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M，与 yx2a2 y2
11、b2轴的交点为 B，若|AM |MB |，则该椭圆的离心率为_答案63解析由题意知 A 点的坐标为(a,0) ，设直线的方程为 yx a，B 点的坐标为(0，a) ，故 M 点的坐标为 ，( a2，a2)代入椭圆方程得 a23b 2，2 a23c 2，e .634 设抛物线 y22x 的焦点为 F，过 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，则|AF|4| BF|的最小值为_答案92解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|4|BF |x 1 4 x 1 4 x 14x 2 ，设直线 AB 的方程为p2 (x2 p2) 12 (x2 12) 52kyx ，联立抛物 线
12、方程得方程 组Error!消元整理得 y22ky 10，由根与系数的关12系可得 y1y21，又 A，B 在抛物线上，代入方程得 y y 2x 12x24x 1x21，即212x1x2 ，因此根据基本不等式|AF| 4|BF| x 14x 2 2 2 ，当14 52 x14x2 52 52 92且仅当 x14x 2时取得最小值 .925 已知抛物线 的顶点是坐标原点 O，焦点 F 在 y 轴正半轴上，过点 F 的直线 l 与抛物线交于 M，N 两点，且满足 3.OM ON (1)求抛物线 的方程；(2)若直线 yx 与抛物线 交于 A，B 两点，在抛物线 上是否存在异于 A，B 的点C，使得经
13、过 A，B，C 三点的圆和抛物线 在点 C 处有相同的切线？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由解(1)依题意，设抛物线 的方程 为 x22py( p0)，则 F(0， )，p2由直线 l 的斜率存在，设为 k，得 l 的方程为 ykx ，p2联立方程Error!消去 y 并整理，得 x22pkxp 20.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x 22pk，x 1x2p 2，又 y1y2(kx 1 )(kx2 )p2 p2k 2x1x2 kp(x1x 2)12 p24k 2(p 2) kp2kp .12 p24 p24所以 x 1x2y 1y2p 2 3，OM ON p24
14、因为 p0，解得 p2，故所求抛物线 的方程为 x24y .(2)联立方程Error!可求得 A(0,0)，B(4,4)，假设抛物线 上存在异于 A，B 的点 C，且设 C 的坐标为(t， )(t0，t4)，使得经过t24A，B，C 三点的圆和抛物线 在点 C 处有相同的切线，令圆心为 E(a，b)，则由Error!得Error!即Error!解得Error! 因为抛物线 在点 C 处的切 线斜率 ky| xt (t0，t4)，t2又该切线与 EC 垂直，所以 1，b t24a t t2即 2abt2t 0. t34将代入得，2( )t 2t 0，t2 4t8 t2 4t 328 t34即 t32t 28t0，因为 t0，t4，解得 t2.故存在点 C 且坐标为(2,1)
