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1、合约决策条件下的一种二层报童问题模型+国家自然科学基金资助项目(70771080)作者简介：万仲平，男，教授，博士生导师，主要研究方向为最优化理论与算法及其系统决策科学等.万仲平1，侯阔林1，2，程露1(1武汉大学数学与统计学院，湖北，武汉，430072；2黎明职业大学公共教学部，福建，泉州，362000)摘要：本文研究了以供应商为领导层、零售商为从属层的合约决策下报童问题的二层规划模型，并讨论了它在合约谈判中的作用。考虑到顾客需求和市场价格具有高度的不确定性，供应商和零售商为了回避风险而达到最大的期望利润，双方通常可以采用签订合约的方式来进行交易。为此，我们建立了一个合约决策条件下报童问题的
2、二层规划模型并计算了数值结果。供应商和零售商可以依据该模型的最优解通过谈判确定合约决策变量值以获取较高的期望利润。关键词：报童问题，二层规划，合约谈判，不确定性中国分类号：C931.1, O221.2, O227.0引言报童问题即单周期库存问题(Single-Period Problem), 是供应链管理中最重要的模型之一，其历史可以追溯到1888年著名经济学家Edgeworth应用它解决银行的现金流(cash-flow)问题，1955年，Whitin首次建立了受价格影响的报童问题模型（详见Petruzzi等1）。目前, 报童问题在生产、服务、管理和金融等领域成功地取得了广泛的应用。有关报童问
3、题及其扩展问题的研究见Silver 2 和Khouja 3给出的综述报告。与众多扩展模型相比, 经典报童问题模型是最简单最基本的问题, 它可以描述为：报童每天早晨以单位批发价从报社买进报纸，然后以单位零售价出售，晚上将没有卖掉的报纸当作废品以价格（）处理掉。同时假设：（1）报童拥有购买足够多报纸的资金；（2）报纸过剩只能以低于零售价的价格处理；（3）报纸供应不足，会遭受缺货惩罚。报童应该如何确定订购量而获得最高的利润呢？显然，报童应该根据市场需求量来确定订购量，而市场需求量是随机的。假设报童通过经验已经掌握了市场需求量的随机规律，我们就可以建立优化模型来求解报童问题了。由于市场价格和顾客需求具
4、有高度的不确定性，供应商和零售商（即报童）面临来自于市场价格和顾客需求两方面的风险。而合约能够为零售商提供购买量和价格的双重保护，同时供应商也有了最低利益保障。因此，在供应链管理领域, 合约问题得到了广泛的关注和研究。然而, 目前对合约报童问题的研究都是将合约订购量(或合约价格)作为协调参数考虑的，这是一种带有决策者的主观意识的决策，并不能真正反映客观实际中的一些问题,可能会使供应商与零售商遭受一定的损失。为此我们将合约订购量、合约价格等作为决策变量，根据市场需求量情况，供应商既考虑市场价格也要对合约价格作出决策，同时，零售商决策市场订购量与合约订购量。由此，基于二层规划模型的思想，我们将建立
5、具有合约决策的二层报童问题模型。数值结果表明，该问题的研究既能够为供应商和零售商提供谈判的依据也有助于提高供应链渠道（channel）的利润。1 经典报童问题经典报童问题研究在概率需求下零售商的决策问题，零售商寻找产品的最优订购量以获取最大的期望利润。经典报童问题中,零售商的利润函数为： （1）其中随机变量是市场需求量， 是单位产品的零售价格，是单位产品的批发价格，是订购量，是单位产品的缺货惩罚，是单位产品的处理价格。由于是随机变量，零售商的期望利润为： （2）其中是市场需求量的概率密度函数，是市场需求量的分布函数，记。设最优订购量是，容易证明是凹函数，再由一阶最优性条件可以得到: （3）上式
6、被称为临界分位点公式, 我们可以通过它求出最优解。2二层报童问题目前在一些行业（如电力）中，市场的激烈竞争使得市场格局发生了很大的变化, 供应商与零售商之间既有合作又有竞争，不能再作为一个垂直统一的经济个体去研究。而经典报童问题没有考虑供应商与零售商决策之间的相互影响，因此，有必要对供应商与零售商之间的层次递阶关系及其决策的相互影响加以研究。二层报童问题是二层规划在报童问题中的应用，二层规划是一种具有二层递阶结构的系统优化问题。上下层决策者在约束条件下各自优化其目标函数，上层的决策影响下层，但不能控制下层；下层通过其最优解(或目标最优值)反馈给上层而影响上层的决策。Dempe4、Colson等
7、5和王广民等6综述了二层规划问题的理论、方法和应用。二层报童问题的研究已经有20余年的历史， 1985年，Pasternack7首次提出了具有二层结构的报童问题来研究供应商与零售商利益关系，Iyer和Bergen8，Emmons和Gilbert9分别考虑了以供应商为领导层，零售商为从属层，目标函数是各自的期望利润的二层报童问题。他们考虑的都是一个供应商和一个零售商的情形，Yang等10考虑了一个供应商和两个零售商情况下的二层报童问题，分析了零售商之间的一些竞争行为。Lau 等11研究了不对称市场信息对供应商和零售商的影响，随后研究了需求为随机变量时多零售商的二层报童问题模型（见文12）， 后来
8、他们研究了随机不对称信息对供应商和零售商的影响(见文13)。最近，Ji和Shao14针对需求是模糊变量时的报童问题，建立了相应的二层报童问题模型.这些成功的应用使得报童问题得到了更多的关注，二层报童问题在建立模型和应用过程中也出现了许多尚待研究的问题，所以报童问题的研究不仅具有理论意义而且还具有重要的实用价值，是一项具有发展前途的研究课题，需要我们更加深入地去研究和总结。文14还分析了供应商不同的批量折扣策略以及零售商相应的最优策略，零售商的订购量达到一定的数量后可以享受优惠价格，从而零售商能够用更低的批发价格购买产品，供应商的产品销售量也增加了。可见，折扣措施使交易双方受益，合约也有这样的作
9、用，下面将研究需求是随机变量时合约决策下的二层报童问题。3合约决策条件下的二层报童问题现货价格受需求的影响具有高度的不确定性，供应商和零售商面临顾客需求量和市场价格两方面的风险。合约规定了产品的单价、购买数量、违约惩罚、交易时间和交易地点等，能够为零售商提供订购量与价格的双重保护，而作为拥有合约价格决策权的供应商也有了最低利益保障。万仲平等15,16研究了合约决策在电力市场中的应用，首次提出了一个用于合约交易竞价策略的随机二层规划模型。李善良和朱道立17利用委托代理理论考虑了两类不对称信息逆向信息和道德风险并存下的供应链线性合约。Sethi, Yan和Zhang18研究了供应链管理和库存论中的
10、合约问题，对数量柔性合约问题利用二阶段规划的思想作了一定的描述。在一个交易周期内，数量柔性合约(quantity-flexibility contracts)允许零售商在两个阶段订购产品。第一个阶段发生在销售季节开始之前的一段时期，我们称之为交货期（lead time），供应商与零售商签定合约价格为订购量为的订购合约；第二个阶段发生在销售季节开始的时候，此时零售商获得了新的市场信息之并对需求预测作更新。零售商确定实际订购量，若实际订购量大于，合约允许零售商再以价格追加订购单位产品，其中。文18建立了该问题的二阶段规划模型，第一个阶段以订购量为决策变量，最大化零售商整个周期的利润；第二个阶段以追
11、加订购量和现货市场购买量为决策变量，最大化零售商在第二阶段的利润。本文选取供应商为领导层，零售商为从属层，利用二层规划研究合约决策下的二层报童问题，供应商和零售商在决策相互影响的情况下，通过求解模型确定最优决策变量值，以此作为依据，通过谈判确定对自己最为有利的合约。下面介绍下文将要用到的符号： 现货市场单位产品批发价格 随机变量 单位产品合约批发价格 决策变量 单位产品合约保留价格 零售商的现货市场购买量 决策变量 零售商的合约订购量 决策变量 零售商的合约执行购买量 决策变量 模型的设计者通常假设签订合约的双方都具有良好的信誉，从而确保合约的执行。事实上，理性的签约者在利益的驱动下可能会违约
12、, 一方的违约对另一方的利益会构成侵害，我们需要设计一个合适的惩罚机制来避免违约, 根本目的是为零售商提供购买量和价格的双重保护，同时使得供应商也有最低利益保障。因此, 我们规定: 在合约签订之后, 零售商向供应商支付“定金”, “定金”以单位保留价格根据合约订购量来支付,在日后的合约交易中,零售商可以灵活选择合约执行购买量，并再次为合约执行购买量支付单位合约价格, 假设供应商不能够违约。本文的模型考虑到了现货市场交易的存在,它是对合约市场交易的补充。3.1 模型现货市场模型在现货市场中，现货价格是随机变量，假设是市场需求量的函数。零售商根据决定订购量。如果不签订合约而只在现货市场交易，供应商
13、与零售商的最优决策可以通过求解如下的模型而得到：供应商的利润函数为： (4a)其中，是零售商的最大期望利润函数问题的解： (4b)其中，是供应商生产能力的上限或者市场需求量上限。3.2供应商问题假设供应商面对的市场需求量和市场批发价格是不确定的，并且产品易腐烂或无法储存。我们假设供应商不回收已经售出的产品。要研究的问题是供应商如何确定适当的合约价格以获取最大利润。为了简化模型，我们假设产品的单位生产成本为常数，可以简单看作需求的函数，并假设合约执行之后供应商生产的产品恰能满足零售商的现货市场需求量，供应商的利润函数为： （5）其中第一项是供应商在现货市场中的收入，第二项与第三项是合约交易的收入
14、, 第四项是生产成本， 是生产上限或市场需求量上限。由于是市场需求量的函数，对（5）求期望，得到供应商的期望利润函数： （6）3.3 零售商问题零售商为了获取最大利润，根据现货市场单位产品批发价格的分布规律，确定最优的合约订购量，合约执行订购量和现货市场购买量。这里假设零售商可以将过剩的产品以价格处理（此处“处理”不是指供应商的回收）。零售商的利润函数为： （7）当供不应求时，第一项是现货市场收入，第二项是合约收入，第三项第四项和第五项是成本，最后一项是缺货惩罚；当供过于求时，第一项是零售商的收入，第二项是处理过剩产品收入，第三项第四项和第五项是成本。对（7）求期望，得到零售商的期望利润函数：
15、 （8）3.4模型合约决策下的二层规划模型我们采取供应商为领导层，零售商为从属层，使用3.2和3.3中的定义以及约束条件，可以建立如下的二层规划模型： （9）其中 ， ，的定义见(5)式与(7)式。模型的上层目标函数和约束函数有下层的决策变量，下层的目标函数和约束函数也有上层的决策变量。上层首先决策，下层根据上层的决策做出反应。4 数值结果例1 考虑2001年Lau12(第663页)给出的一个算例：某种不可储存产品的市场需求量服从上的均匀分布， 零售价格元，供应商成本元，处理价格元，缺货惩罚元。为研究本文的问题的方便我们对此例做改动，假设：生产或市场需求量上限，单位保留价格元，考察现货市场的逆需求函数为不同情形（见
