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1、寻找二面角的平面角的方法 二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点对于 二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形 或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例 1在60 的二面角 - a - 的两个面内，分别有 A 和B 两点已 知 A 和B 到棱的距离分别为 2 和 4，且线段 AB 10 ，试求： 直线 AB 与棱a 所构成的角的正弦值； 直线 AB 与平面 所构成的角的正弦值,分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60 角在哪儿如果解决了这个问
2、题，这道题也就解决了一半 根据题意，在平面 内作 AD a ；在平面 内作BE ，CD /EB ， 连结BC 、AC 可以证明CD a ，则由二面角的平面角的定义，可知 ADC 为二面角 - a - 的平面角以下求解略 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角 例 2如图，在平面 内有一条直线 AC 与平面 成30 ，AC 与棱 BD 成45 ，求平面 与平面 的二面角的大小 分析：找二面角的平面角，可过 A 作 AF BD ； AE 平面 ，连结 FE 由三垂线定理可证,1,BD EF ，则AFE为二面角的平面角 总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个 平面垂直的垂线，可过这
3、一点向棱作垂线，连结两个垂足应用三垂 线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平 面角 （2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、 “证”，即“作 AF BD ”、“连结EF ”、“证明EF BD ” 三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构 成的角，即为二面角的平面角 例 3如图 1，已知P 为 - CD- 内的一点，PA 于 A 点，PB 于B 点，如果APB n ，试求二面角 - CD- 的平面角,PB PB CD,2,分析： PA PA CD CD 平面PAB,因此只要把平面PAB与平面 、 的交线画出来即可证明AEB 为 - C
4、D- 的平面角， AEB 180 n （如图 2） 注意：这种类型的题，如果过 A 作 AE CD ，垂足为E ，连结EB ， 我们还必须证明EB CD ，及 AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦 例 4已知斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，平面 AB1 与平面 AC1 构成的二,图 1,图 2,11,70,面角的平面角为30 ，平面 AB 与平面BC 构成的二面角为试求平,面 AC1 与平面BC1 构成的二面角的大小 分析：作三棱柱的直截面，可得 DEF ， 其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两 构成的二面角的平面角 总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形 的各个
5、内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角 四、平移平面法 例 5如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，E 为 AA1 的中点，H 为CC1 上的点，且CH：C1H 1：2 设正方体的棱长为a ，求平面D1EH 与底面 A1B1C1D1 构成的锐角的正切 分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点D1 ，在这种情况下， 寻找二面角的平面角较困难根据平面平移不改 变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果 能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与 另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角有了平面角之后， 只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了 如图，过点E 作EM
6、 / A1D1 与D1D 相交于M 点，过M 点作MN C1D1 ， 与D1H 相交于 N 点可证平面EMN / 平面 A1B1C1D1 这样，求平面D1EH 与平面 A1B1C1D1 的二面角的平面角就转化为求平面 D1EH 与平面 EMN 的二面角的平面角 显然 EN 为这两个平面的交线， 过点 M 作 MF EN ， F 为垂足，连结D1F ，可证D1F EN 则D1FM 为本题要,3,寻找的二面角 五、找垂面，作垂线 例 6如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1 中， M 为棱 AD 的中点，求平 面B1C1CB 和平面BC1M 所构成的锐二面角的正切 分析：平面 AC 与二面角M
7、 - BC1 - C 的一个 面B1C 垂直，与另一个平面MBC1 相交，过M 点 作MP BC ，垂足为P ，过P 作PN BC ，交BC1 于 N 点，连结MN ，由三垂线定理可证MN BC1 ， 则MNP 为二面角M - BC1 - C 的平面角 总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交 时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交 线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线根据三 垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角 再如图，要找 - a - 所构成的二面角的平面角，可找平面 ， 且 b ， l ，过b 上任何一点 A 作 AB l ，垂足为B ，过B 作 BC ，垂足为C ，
8、连结 AC ，可证ACB 为 - a - 的平面角 六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角 1三线合一 例 7 如图，空间四边形 ABCD 中， AB AD 3 ， BC CD 4 ， BD 2 ， AC 5 试求 A - BD - C 二面角的余 弦值 分析：如图 1， AB AD， BC CD ，则 ABD 和 BDC 为等腰三,4,角形过 A 作 AE BD ，垂足为E ，连结CE 根据等腰三角形三线合 一，且E 为BD 中点，可证CE BD ，则AEC 为二面角 A - BD - C 的平面 角 全等三角形 例8如图，已知空间四边形 ABCD ，AB BC 6 ， AD DC 4 ，
9、BD 8 ， AC 6 试求 A - BD - C 的余弦 值 分析：过 A 作 AE BD ，垂足为E ，连结CE 根据已知条件， AED和 CED 全等，可证CE BD ，则AEC 为二面角 A - BD - C 的平面 角 二面角的棱蜕化成一点 例 9如图，四棱锥 A - BCED 中，DB 和EC 与面 ABC 垂直， ABC 为正三角形 若BC EC BD 时，求面 ADE 与面 ABC 的夹角； 若BC EC 2BD 时，求面 ADE 与面 ABC 的夹角 分析：如图，面 ADE 与面 ABC 的交线蜕化成 一点，但面 ADE 与面 ABC 与面DC 相交如果三个 平面两两相交，它
10、们可能有三种情况：（1）交线 为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行在图 1 中，两条交 线BC 与DE 互相平行，所以肯定有过 A 且平行于DE 的一条交线 可过 A 作 AM / DE ，平面 ADE 与平面 ABC 的交线即为 AM 过 A 作 AN DE 于 N ，过 A 作 AF BC 于F 可证 AN AM ，AF AM ，则NAF,5,为面 ADE 与面 ABC 的夹角 如图，DE 与BC 不平行且相交根据三个平面两两相交可能出现 的三种情况，这三个面的交线为一点延长ED、CB 相交于G 点，连结 AG AG 即为平面 ADE 与平面 ABC 的交线，通过一些关系可证CAE 为平面 ADE 与平面 ABC 的夹角 通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容 易了只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适 当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解,6,
