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1、上课,手机 关了吗？,2.4 连续型随机变量,定义 设X是随机变量, F(x)是它的分布函数. 若存在一个非负可积函数 f(x)(x), 使得,则称X是连续型r.v., f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.),一、连续型 r.v.的概念,由定义可知, 连续型随机变量的分布函数是连续函数, 是密度函数的变上限的定积分.,由上式可得,在f (x)的连续点,(2) 规范性,Th1( 密度函数的特征性质),(1) 非负性 f (x)0, (x);,注1 改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不影响公式(2)规范性, 故对固定的分布函数, 概率密度函数不唯一.,注2 满足上述两条性质的函数必是某一
2、随机变量的密度函数. 故常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 p.d. f. (求f(x)中未知参数!),Th2 设连续型r.v.X 的分布函数(c.d.f.)为F(x), 概率分布密度函数为f(x), 则,(2) 若x是f(x)的连续点, 则,(1) F(x)为连续函数;,(3)对任意实数c, 则PX=c0. 因为:,(4),可见,密度函数全面描述了连续型随机变量的规律.,(求F(x)中未知参数!),注1. 几何意义:,它是以(a,b为底,以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积.,f(x),注2. 由P(A)=0不能推出A=;由P(B)=1不能推出B=.,注3.当 x 很小
3、时,EX,2 设随机变量X的概率密度为,求常数a.,1 证明,为概率分布密度函数.,1,证,密度函数值f(a)并不反映X取a值的概率.但这个值越大,X取a附近值的概率就越大.也可以说,在某点密度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度.,1)求X的分布函数F(x); 2)求PX(0.5,1.5),解：,例1.已知随机变量X的概率密度为,当x 0时,F(x)=,当0 x 1时，,f(x)是分段函数, 求F(x)时要分段求.,=0,PX(0.5,1.5)=,当1 x 2时,当x 2时,必然事件!,=1,F(1.5)-F(0.5)=3/4,例2. 设X的密度函数为,试确定常数A,并求,解：,例3.
4、 设随机变量X 的分布函数为,(1)求常数A的值; (2)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率; (3)求X的概率密度.,解:,定义p(1)2, 则,(1)F (x)为连续函数,二、几个常用的连续型分布,则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 XU(a, b),1. 均匀分布 U(a, b),若r.v.X的p.d.f.为,注2 均匀分布的特征性质：,X服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是,(1) X 落在(a, b)概率为1, 落在区间外的概率为0;,(2) X 落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比.,注1 对任意实数c, d (acdb)，都有,说明r.v.X落在(a,b
5、)区间上任一点的可能性都相同.,注3 均匀分布的分布函数：,P36 例12,当xa时,F(x)=,当a xb时，,=0,当x b时,必然事件!,=1,F(x),15,45,解：设A乘客候车时间超过10分钟 X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),例4.公共汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随机地到达车站,求乘客候车时间超过10分钟的概率.,2. 指数分布,则称X服从参数为0的指数分布.,若r.v.X的p.d.f.为,其分布函数:,例5.电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布. (1)求该电子元件寿命超过2年的概率;(2)已知该电子元件
6、已使用了1.5年,求它还能使用两年的概率.,解,1F(2),e6,非负的连续型r.v.X服从指数分布的充分必要条件是:无记忆性,例6.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设0，t时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。,解,当t 0时，,当t 0时，,=1- 在t时刻之前无汽车过桥,于是,F(t) =PTt,F(t) = 0,F(t) =PTt,=1- PT t ,=1-PXt =0,3. Gamma分布,说明,其中,=1的分布即为参数为的指数分布E(),正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广, 所以通常称为高斯分布.,
7、德莫佛,德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式, 这一公式被认为是正态分布的首次露面.,4.正态分布,(I) 正态分布的定义,若X 的 p.d.f. 为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数,亦称高斯 (Gauss)分布,(II)正态分布 密度函数图形特点,f ( + x) = f ( - x),在 x = 时, f (x) 取得最大值,曲线 y = f (x)在x = 对应点处有拐点,曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状(钟形曲线),关于直线 x = 对称,即,中间大两头小,2)
8、 决定随机变量取值的分散程度,固定 ,图形由确定:,1) 决定图形的中心位置，固定, 图形形状不变, 改变, 图形平移.,越大,图形越扁平,X落在附近概率越小,即取值越分散;,越小,图形越尖峭,X落在附近概率越大,即取值越集中.,实例 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。,从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。,下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学大学生的身高应服从正态分布.,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分
9、布的随机变量的特点。,除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,其值有专门的表供查（P.222）, 标准正态分布N (0,1),密度函数,-x,x,P-aXa,=(a)(-a),=(a)1(a),解,例7. 设XN(0, 1), 查表计算,P222 附表1,=0.9772,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,即 ： N (0 ,1),例8. 设 X N
10、(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解,=0.6179-(1-0.6915),=0.3094,例9.已知,且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).,解.,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,3 准则,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,这在统计学上称作“3 准则” （三倍标准差原则）.,EX.一种电子元件的使用寿
11、命(小时)服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的.求使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故,则YB(3,p), 其中,Ex、,求,解：,总 结,连续型随机变量的定义 （1）p.d.f.的特征性质 （2）连续型随机变量的性质 常用分布 1均匀分布：特征性质？ 2指数分布：特征性质? 3Gamma分布 4正态分布,作业：P39,(一)15，16(1)， 17，18,(二) 20，23.,卷P12:6.,下课,解 (1)由指数分布的定义可得,例 对服从参数为0.015的指数分布的变量X, 试计算: (1)X 取值大于100的概率; (2)若要求P(X x) 0.1,问x应在什么范围内?,指数分布常用于可靠性统计研究中,如元件的寿命.,(2)若要求P(X x) 0.1,即,
