世纪金榜二轮专题辅导与练习专题六第三讲讲课资料

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1、第三讲 定点、定值与最值问题,一、主干知识 1.定点问题： 在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题. 2.定值问题： 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.,3.最值问题的两大求解策略： 解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别关注用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的结构特征直接或换元后选用基本不等式法、导数法、数形结合法等求最值.,二、重要结

2、论 1.直线与圆锥曲线相交的问题，牢记“联立方程，把要求的 量转化为根与系数的关系”. 2.有关弦长问题，牢记弦长公式 及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点 弦长问题，要牢记圆锥曲线定义的运用，以简化运算. 3.涉及弦中点的问题，牢记“点差法”是联系中点坐标和弦 所在直线的斜率的好方法.,1.(2013昆明模拟)已知直线x=t与椭圆 交于P，Q两 点，若点F为该椭圆的左焦点，则 取最小值时t的值为_. 【解析】椭圆的左焦点F(-4,0),根据对称性可设P(t,y),Q(t,-y)， 则 =(t+4,y), =(t+4,-y), 所以 =(t+4,y)(t+4,-y)=(t+4)2-y2.

3、又因为 所以 =(t+4)2-y2=t2+8t+16-9+ t2= 所以当 时， 取值最小. 答案：,2.(2013重庆模拟)以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作 圆与直线x+2=0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐 标是_. 【解析】由抛物线定义知该圆必过抛物线y2=8x的焦点F(2,0). 答案：(2，0),3.(2013江西高考改编)已知点A(2，0)，抛物线C：x2=4y的 焦点为F，直线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N， 则FMMN=_. 【解析】设直线FA的倾斜角为，因为F(0,1)，A(2,0)，所以 直线FA的斜率为 即tan = 过点M作准线的垂线交准线 于

4、点Q，由抛物线定义得FM=MQ，在MQN中 可得 即FMMN=1 答案：1,4.(2013盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F(1，0)过抛物线在x轴上方的不同两点A，B作抛物线的切线AC，BD，与x轴分别交于C，D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N (1)求抛物线的标准方程. (2)求证：MNx轴. (3)若直线MN与x轴的交点恰为F(1，0)， 求证：直线AB过定点,【解析】(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)， 由题意，得 即p=2 所以抛物线的标准方程为y2=4x (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y10，y2

5、0 由y2=4x(y0)，得 所以切线AC的方程为y-y1= 即yy1= (xx1) 整理，得yy1=2(x+x1)，,且C点坐标为(x1，0) 同理得切线BD的方程为yy2=2(x+x2)， 且D点坐标为(x2，0) 由消去y，得xM= 又直线AD的方程为 直线BC的方程为 由消去y，得xN= 所以xM=xN，即MNx轴,(3)由题意,设M(1,y0),代入(2)中的,得y0y1=2(1+x1),y0y2=2(1+x2). 所以A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程y0y=2(1+x). 所以直线AB的方程为y0y=2(1+x). 故直线AB过定点(-1,0).,热点考向 1 定点的探

6、究与证明问题 【典例1】(1)(2013郑州模拟)已知点A(x1,y1),B(x2,y2) (x1x20)是抛物线y2=4x上的两个动点,O是坐标原点, =0, 则直线AB过定点. (2)(2013聊城模拟)如图,已知椭圆C: (ab0)的 离心率为 以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直 线x-y+ =0相切.,求椭圆的标准方程. 设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明动直线AE经过一定点.,【解题探究】 (1)由 =0，得y1y2为定值_； 当x1x2时，直线AB的斜率kAB=_(用y1,y2表示) 直线AB的方程为_.(用y

7、1,y2表示) 当x1=x2时，直线AB的方程为x=_. (2)由离心率为 _;由点到直线的距离求得b=_. 证明动直线AE经过一定点的关键是什么？ 提示：关键选与直线PB有关的参数建立直线AE的方程.,-16,(y1+y2)y=4(x-4),4,【解析】(1)因为 所以x1x2+y1y2=0，y1y2=-16， 当x1x2时， AB方程y-y1= (y1+y2)y-y12-y1y2=4x-4x1 (y1+y2)y=4x-16, 即(y1+y2)y=4(x-4)经过(4,0)， 当x1=x2时，x1=x2=4,即直线AB方程为x=4过点(4，0). 答案：(4，0),(2)由题意知 所以 又因

8、为以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ =0相切， 所以有 所以 故椭圆的方程为：,由题意知直线PB的斜率存在； 设直线PB的方程为y=k(x-4),由 得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0. 设点B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1), 则x1+x2= x1x2= () 直线AE的斜率kAE= 所以直线AE的方程为y-y2= (x-x2).,令y=0,得x=x2+ 将y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入并整理得： () 将()代入()整理得 所以，直线AE过定点(1,0).,【互动探究】若本例(1)中抛物线方程为y2=2px(p0

9、)，且弦AB 的中点到直线x-2y=0的距离的最小值为 且 求 抛物线方程. 【解析】设AB中点C(x,y),则 若中点C到直线x-2y=0的距离为d, 则 所以,当y1+y2=2p时，d有最小值 由题设得 所以p=2,此时抛物线方程为y2=4x.,【方法总结】动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0). (2)动曲线C过定点问题,解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.,【变式备选】(2013南通模拟)在平面直

10、角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1,0) (1)求抛物线C的标准方程. (2)设M,N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为-4，直线MO,NO与抛物线的交点分别为点A,B，求证：动直线AB恒过一个定点,【解析】(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)，则 =1， p=2，所以抛物线C的标准方程为y2=4x (2)抛物线C的准线方程为x=-1，设M(-1,y1)，N(-1,y2)， 其中y1y2=-4, 则直线MO的方程为y=y1x，将y=y1x与y2=4x联立，解得A点 的坐标为 同理可得B点的坐标为 则直线AB的方程为 整理，得(y1+y2)y4x

11、+4=0.,由 故动直线AB恒过一个定点(1，0),热点考向 2 定值的探究与证明问题 【典例2】(2013北京模拟)椭圆T的中心为坐标原点O，右焦 点为F(2,0),且椭圆T过点E(2， ).ABC的三个顶点都在椭圆T 上，设三条边(AB,BC,AC)的中点分别为M，N，P. (1)求椭圆T的方程. (2)设ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3，且 ki0,i=1,2,3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为0. 求证： 为定值.,【解题探究】 (1)设椭圆T的方程为 (ab0), 则a=_,b=_. (2)证明 为定值的两关键点: 表示:将 中的量k1,k2,k3用 _表示；

12、化简：利用约束条件：_化简得定值.,2,动点M,N,P的坐标,kOM+kON+kOP=0,【解析】(1)设椭圆T的方程为 (ab0), 由题意知：左焦点为F(-2,0), 所以2a=EF+EF= 解得a= b=2. 故椭圆T的方程为,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),M(s1,t1),N(s2,t2), P(s3,t3). 方法一：由 两式相减，得到(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0， 所以 即 同理 所以 又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0, 所以,方法二： 设直线AB:y-t1=k1(x-s1), 代入椭圆x2+2y2=8,

13、得到 化简得 以下同方法一.,【方法总结】求解定值问题的两大途径 (1)由特例得出一个值(此值一般就是定值) 证明定值：将问题转化为证明 代数式与参数(某些变量)无关 (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件正负项抵消或分子分母约分得定值.,【变式训练】(2013天津模拟)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点(不同于点E)，直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N. (1)求抛物线方程及其焦点坐标. (2)已知O为原点，求证： 为定值.,【解析】(1)将E(2,2)代入y2=2px,得p=1, 所以抛物线方

14、程为y2=2x,焦点坐标为 (2)设 M(xM,yM),N(xN,yN). 方法一：因为直线l不经过点E， 所以直线l一定有斜率. 设直线l方程为y=k(x-2), 与抛物线方程联立得到 消去x,得： ky2-2y-4k=0， 则由根与系数的关系得：y1y2=-4,y1+y2=,直线AE的方程为: 即 令x=-2,得yM= 同理可得：yN= 又 =(-2,yM), =(-2,yN), 所以,方法二： 设直线l方程为x=my+2, 与抛物线方程联立得到 消去x,得:y2-2my-4=0. 则由根与系数的关系得：y1y2=-4,y1+y2=2m, 直线AE的方程为: 即 (x-2)+2,令x=-2

15、,得,同理可得： 又 =(-2,yM), =(-2,yN), =4+yMyN=4+,热点考向 3 与圆锥曲线有关的最值(范围)问题 【典例3】(1)(2013厦门模拟)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线 l2:x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和 的最小值是_. (2)(2013昆明模拟)直线y=kx-2与椭圆 相交于A， B两点，O为原点，在OA，OB上分别存在异于O点的M，N，使得 O在以MN为直径的圆外，则直线斜率k的取值范围为_.,(3)(2013徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭 圆E: (ab0)的离心率 A1,A2分别是椭圆E的 左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点 为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q. 求直线OP的方程. 求 的值. 设a为常数，过点O作两条互相垂直 的直线，分别交椭圆E于点B，C，分别 交圆A2于点M，N，记OBC和OMN的面 积分别为S1,S2,求S1S2的最大值.,【解题探究】 (1)关键：将动点P到直线l2:x=-1的距离，转化为动点P到抛物 线焦点F_的距离，进而数形结合知，当点F，P及P在直 线l1上的射影三点_时，和最小. (2)关键：根据_构建关于k的不等式求解. (3)A2OP= _,xP=_,xQ=_, _. 求最大值的三个步骤： ()引入变量：设直线OM的