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1、Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,10.1,相关性与 Copula 函数,第 11 章,10.2,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,相关系数,变量V1 和 V2 的相关系数被定义为,变量V1 和 V2 的协方差被定义为,因此相关系数又可以写为:,10.3,Risk Management e Istituzioni Finanzia
2、rie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,独立性,如果两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立。 精确地讲，如果对于所有的x等式成立,其中f () 是概率密度函数，则V1 和 V2相互独立。,10.4,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,零相关,如果两个变量的相关系数为0，就意味着变量毫无关联吗？ 答案是否定的！ 例如, 有 V1 = 1; 0; +1有
3、均等的可能; 若 V1 = 1 或 V1 = +1 则 V2 = +1; 若 V1 = 0 则V2 = 0; 在这里我们可以清楚地看到V2和V1有某种关联性，但相关系数为零.,10.5,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,几种关联形式,10.6,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,监测相关系数,假定变量X 和 Y 在第i天结束时的价值
4、为Xi 和 Yi ，变量X 和 Y 在第i天的收益率为,我们得出变量X 和 Y在第i 天的相关系数为,其中varx,n 和 vary,n 是变量X 和 Y的每天变化的方差， 以及 covn 是协方差.,10.7,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,检测相关系数(续),第n天的协方差 covn = E(xn yn) E(xn) E(yn) 常常假定变量每天的预期收益为0，因此这意味着变量X及Y在第n天的协方差可以被简化为 E(xn yn).,10.8,Risk Ma
5、nagement e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,监测相关系数(续),在 EWMA 中，同样可以采用与更新方差类似的方式更新协方差:,在 GARCH(1,1) 中, X 和 Y 协方差的更新由下式给出:,10.9,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,半正定矩阵,方差协方差矩阵 满足内部一致性条件，如果此矩阵为半正定矩阵，也就是对于任意向量w, 以下不等式成立,1
6、0.10,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,例,考虑一下矩阵:,可以这么这个矩阵不满足内部一致性:第1个变量和第2个变量均同第3个变量高度相关，但是第1、2个变量之间无关，. 如果令 w = (1, 1, 1), 可以验证此矩阵不满足半正定条件.,10.11,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,二元正态分布,我们假定两个变量 V1
7、和 V2 服从二元正态分布. 变量 V1 和 V2 的无条件期望值和标准差分别为 1, 2 e 1, 2,相关系数为 . 假设已知 V1 有一个观测值 v1. 根据以上信息, 变量 V2 也服从正态分布， 其均值为 标准差为,10.12,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,多元正态分布,多元正态分布很容易被理解及应用。因此我们可以将多元正态分布用于描述变量之间的相关结构，这甚至在每一个单一变量不服从正态分布时也可以做到。,10.13,Risk Management
8、 e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,因子模型,假设N 个变量, Vi (i =1 , 2, ., N),均服从一个多元正态分布, 则需要顾及 N (N 1)/2= (N N N)/2 个相关系数. 如果满足这些变量满足因子模型的假设，则待估计参数的个数减至N 个.,10.14,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,假设变量U1, U2, ., UN 均服从标准正态分
9、布. 在单因子模型中，每个 Ui (i = 1, 2, ., N)均同一个共同的因子 F 及另外一个相互独立的因子有关，准确地讲:,在单因子模型中，这个表达式变为:,因子模型,(续),10.15,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,高斯 Copula 模型,假定我们想定义两个不服从多元正态分布的变量，V1 和 V2，之间的相关关系. 把变量 V1 转化为一个服从正态分布的变量, U1,分位数与分位数之间的一一映射. 把变量 V2 转化为一个服从正态分布的变量, U
10、2,分位数与分位数之间的一一映射. 假设变量U1 和 U2 服从正态分布，相关系数为 .,10.16,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,通过Copula函数定义V1 和 V2 的联合分布,10.17,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,例,假定V1 和 V2的边际分布上图所示的为三角分布.,两个变量均介于01. V1 及 V2 和
11、U1 及 U2 之间的映射为分位数与分位数 之间的一一映射.,V1,V2,10.18,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,例,当V1 0.1时， 对应于累积概率为底为0.1高为1的三边形面积. 因此等于0.05 (= 0,1 1), 也就是 5%.,V1=0.1的值被映射到标准正态分布5%的分位数，其值为1,64. 以此类推.,10.19,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyrig
12、ht John C. Hull 2009,例,当V2 0.1时， 对应于累积概率为底为0.1高为0.2的三边形面积. 因此等于0.02 (= 0.1 0.2), 也就是 2%.,V2=0.1的值被映射到标准正态分布2%的分位数，其值为2.05. 以此类推.,10.20,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,例,假设U1 和 U2 之间的相关系数为 0.5. 上表显示出V1 和 V2之间的联合分布.,V1 0,1及V2 0,1的概率同 U1 1,64 及 U2 2,0
13、5. 的概率相同. 如果 = 0,5 在二元正态的情形 下，这一概率仅仅为 0,006.,10.21,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,其他Copula函数,高斯Copula函数只是定义了V1及V2 相关结构的某一种形式，还有许多其他Copula函数可以 用于描述相关结构. 其中一种Copula函数被称为Student t-copula 函数. 这种Student t-copula函数同髙斯Copula函数类似，其不同之处只是U1 和 U2被假定为服从二元学生
14、t分布.,10.22,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,二元正态分布的5,000个抽样,N 1(0,99)=2,33,10.23,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,二元学生t-分布的5,000个抽样,t 1 (0,99) = 3,75,10.24,Risk Management e Istituzioni Finanziarie,
15、 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,因子Copula模型,在多元Copula模型中，市场分析员常常假定变量Ui 之间的相关性由某种因子来决定。. 当只有一个因子时， Ui被定义为,其中，因子 F 和 Zi分别服从标准正态分布.,Zi之间相互独立，F与Zi之间也相互独立.,10.25,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,违约相关性(Default Correlation),两家公司之间的违约相关性 (default c
16、orrelation) 以一个衡量他们差不多同时违约的测度. La default correlation importante ai fini del risk management quando si analizzano i benefici della diversificazione. anche importante ai fini della valutazione di alcuni derivati creditizi.,10.26,Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009,高斯Copula函数的单因子模型,定义 Ti为公司i的违约时间. Qi = Prob(Ti T)为Ti的累积概率分布. Ti 与 Ui (标准正态分布)分 位数之间进行一一对应的映射. 当U = N 1Qi (T)时，Prob(Ti T) = Prob(Ui U). 假定 Ui 之间的相关结构由因子模型定义,则
