《非线性方程与非线性方程组的迭代解法(一)课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性方程与非线性方程组的迭代解法(一)课件（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法,一、非线性方程（组）的近似求解的必要性,（1）单个方程情形：在非线性方程的求解中，多项式求根是常见且最简单,的情形。根据代数基本定理，在复数域内，n次多项式至少有一个根，,而由Galois（伽罗华）理论，5次以上（含5次）的多项式无根式求解。,从而近似求解方程就成为必需的了。除多项式求根以外，更多的是超,越方程求根问题。例如天体力学中有如下Kepler（开普勒）方程：,其中t表示时间，行星运动的轨道x是t的函数。该方程不能精确解出运,动轨道位置x(t)。,（2）多个方程情形：在用数值方法求解常微分方程组时经常遇到非,线性方程组求根问题。,二、非线性方
2、程（组）求解研究的难点,（1）解的存在性、唯一性不易确定；,（2）迭代解法求解；,（3）迭代法的收敛性往往为局部收敛。,三、求解非线性方程的近似解的步骤,（1）判断根的存在性；,（2）确定根的分布区间；,（3）根的精确化。,问题：设有非线性方程,（1）,其中,为一元非线性函数。若常数,使得,，则称,是方程（1）的根（或,的零点）。若,其中,，则称,是（方程1）的m重根（或,的m重,零点。当m=1时，,称为方程（1）的单根或,的单零点。,4.1 对分法和简单迭代法,一、对分法,基本思想：对有根区间不断进行对分，即逐渐二分有根区间，得,一系列有根区间,，当k,充分大时，取,的中点作为根的近似值。,
3、优点：算法简单方便，其收敛性总能保证；,缺点：可能漏根。,例1：求,的根。,二、简单迭代法及其收敛性,1、基本思想,将方程（1）改写成等价形式,（2）,构造迭代公式,（3）,由此产生一迭代序列,。在一定的条件下我们希望该序列,是收敛的，于是当k充分大时，可取,作为方程（1）的近似根。,迭代法（3）称为求解方程（1）的简单迭代法，,称为,迭代函数。,故简单迭代法又称为不动点迭代法。,收敛情形,不收敛情形,问题1：这样求根的近似值的理论依据是什么？,问题2：怎样构造等价方程？,问题3：序列,是否收敛？收敛的条件是什么？,则有如下结论：,2、收敛条件,例2：用简单迭代法求,解：迭代格式,3、收敛阶,r=1；r=2；r1,收敛的。,例题3：,一阶,一阶,至少二阶收敛速度。,例2的改进：,4、迭代法收敛的加速,Steffensen迭代法,Aitken迭代法,
