《非线性方程与非线性方程组的迭代解法(一)课件》由会员分享,可在线阅读,更多相关《非线性方程与非线性方程组的迭代解法(一)课件(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法,一、非线性方程(组)的近似求解的必要性,(1)单个方程情形:在非线性方程的求解中,多项式求根是常见且最简单,的情形。根据代数基本定理,在复数域内,n次多项式至少有一个根,,而由Galois(伽罗华)理论,5次以上(含5次)的多项式无根式求解。,从而近似求解方程就成为必需的了。除多项式求根以外,更多的是超,越方程求根问题。例如天体力学中有如下Kepler(开普勒)方程:,其中t表示时间,行星运动的轨道x是t的函数。该方程不能精确解出运,动轨道位置x(t)。,(2)多个方程情形:在用数值方法求解常微分方程组时经常遇到非,线性方程组求根问题。,二、非线性方
2、程(组)求解研究的难点,(1)解的存在性、唯一性不易确定;,(2)迭代解法求解;,(3)迭代法的收敛性往往为局部收敛。,三、求解非线性方程的近似解的步骤,(1)判断根的存在性;,(2)确定根的分布区间;,(3)根的精确化。,问题:设有非线性方程,(1),其中,为一元非线性函数。若常数,使得,,则称,是方程(1)的根(或,的零点)。若,其中,,则称,是(方程1)的m重根(或,的m重,零点。当m=1时,,称为方程(1)的单根或,的单零点。,4.1 对分法和简单迭代法,一、对分法,基本思想:对有根区间不断进行对分,即逐渐二分有根区间,得,一系列有根区间,,当k,充分大时,取,的中点作为根的近似值。,
3、优点:算法简单方便,其收敛性总能保证;,缺点:可能漏根。,例1:求,的根。,二、简单迭代法及其收敛性,1、基本思想,将方程(1)改写成等价形式,(2),构造迭代公式,(3),由此产生一迭代序列,。在一定的条件下我们希望该序列,是收敛的,于是当k充分大时,可取,作为方程(1)的近似根。,迭代法(3)称为求解方程(1)的简单迭代法,,称为,迭代函数。,故简单迭代法又称为不动点迭代法。,收敛情形,不收敛情形,问题1:这样求根的近似值的理论依据是什么?,问题2:怎样构造等价方程?,问题3:序列,是否收敛?收敛的条件是什么?,则有如下结论:,2、收敛条件,例2:用简单迭代法求,解:迭代格式,3、收敛阶,r=1;r=2;r1,收敛的。,例题3:,一阶,一阶,至少二阶收敛速度。,例2的改进:,4、迭代法收敛的加速,Steffensen迭代法,Aitken迭代法,