概率与统计课件

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1、概率与统计,统计： 一.随机抽样 二.用样本估计总体 三.变量间的相关关系及回归分析 四.独立性检验,一.随机抽样,1.总体、个体、样本、样本容量的概念 统计中所考察对象的全体构成的集合看作总体，构成总体的每个元素作为个体，从总体中抽取的各个个体所组成的集合叫样本，样本中个体的个数叫样本容量。 2.简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。（抽签法，随机数表法）,3.系统抽样 当总体中的个体比较多时，首先把总体分成均衡的若干部分，然后按照事先确定的规则，从每一部

2、分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。 4.分层抽样 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。,二.用样本估计总体,1 .用样本的频率分布估计总体分布 频率分布表 频率分布直方图 频率分布折线图 茎叶图,2.用样本的数字特征估计总体数字特征 众数：一组数据中出现次数最多的数。 中位数：将数据从小到大排列，最中间的数是中位数。 平均数：反映一组数据平均水平。 标准差：反映一组数据离散程度。 方差：标准差的平方。 极差：一组数据中最大值和最小值的差。 平均数、众

3、数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同。,三.变量间的相关关系及回归分析,1.相关关系: 当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。与函数关系不同，相关关系是一种不确定关系。 2.散点图,3.回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。 回归直线方程: 相关系数：它主要用于相关量的显著性检验,以衡量它们之间的线性相关程度。当r0时，表示两个变量正相关；当r0时，表示两个变量负相关。|r|越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；当|r|接近0时，表明两个变量间几乎不存在线性相关关系。,四.独立

4、性检验,利用随机变量、独立性假设来确定是否一定有把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。,概率,一.计数原理，排列与组合 二.二项式定理 三.随机事件的概率 四.离散型随机变量的分布列，期望与方差 五.正态分布,一.计数原理，排列与组合,1.计数原理 .分类计数原理： 完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各类不同方法种数的和，这就是分类加法计数原理。 .分布计数原理： 完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各步不同的方法种数的乘积，这就是分步乘法计数原理。,

5、分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数。 *它们的区别在于： 分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任一种方法都可以完成这件事； 分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。,2.排列与组合 .排列 从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，用表示。 =n(n-1)(n-m+1) =n(n-1)(n-2)321=n!（全排） .组合 从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，用 表示。 = =,二.二项式定理,三.随机

6、事件的概率,1.基本概念： (1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件。 (2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件。 (3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件。 2.频率与概率 (1)频率:在n次试验中，事件A出现的次数nA与n的比，即 ，范围为0,1 (2)概率是度量事件发生的可能性大小的量，是个确定的值，范围为0,1,对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率随着实验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率。3.事件的关系与运算,4.概率的几个基本性质,(1).概率的取值范围： (2

7、).必然事件的概率为1. (3).不可能事件的概率为0. (4).概率的加法公式：如果事件A和事件B互斥，则 (5).对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则 为必然事件， 互斥事件的理解： (1).互斥事件研究的是两个事件之间的关系； (2).所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的； (3).两个互斥事件是从“试验的结果不能同时出现”来确定的。,5.古典概型,(1).基本事件的特点 任何两个基本事件是互斥的； 任何事件（除了不可能事件）都可以表示成基本事件的总和。 (2).古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。 (a)试验中所有可能出现的基本事件只

8、有有限个； (b)每个基本事件出现的可能性相等。 (3).古典概型中，事件A的概率计算公式为P(A)=,6.几何概型,(1)定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积） 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 (2)特点： 无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布。 (3)计算公式：,7.条件概率,(1)定义： 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示。 其公式为 P(B|A)= 。 (2)性质： 条件概率具有一般概率的性质，即0

9、P(B|A) 1； 如果B、C是两个互斥事件，则 。,8.事件的相互独立性,(1)定义： 设A、B是两个事件，若 ，则称事件A与事件B相互独立。 对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件。 (2)性质： 若事件A与B相互独立，那么 也都相互独立。 9.独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验。,四.离散型随机变量的分布列，期望与方差,1.离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随基变量。 (2)若离散型随机变量X可能取的不

10、同值为x1，x2，xn，X取每一个值xi(i=1， 2，n)的概率P(X=xi)=pi，则称表 为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列。,性质：,a. pi0,i=1,2,n; b. p1+p2+pi+pn=1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 数学期望： 反映了离散型随机变量取值的平均水平。 方 差：,2.常见的离散型随机变量分布列 (1) 两点分布： 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为,其中 称为成功概率。,(2)超几何分布： 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰含有X件次品， 则事件X=k发生的概率 ，(k=0,1,2,m)，

11、其 中m=minM，n，且nN，MN，n、M、NN*，称分布列,为超几何分布列。 (3)二项分布 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的 一种试验。 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为 X，那么事件A发生k次的概率为 (p为事件A发生的概率，k=0,1,2,n)， 此时称随机变量X服从二项分布，记为XB(n,p)。,3.均值与方差的性质,(1)E(aX+b)= aE(X)+b(a,b为实数)。 (2)D(aX+b)= a2D(X)(a,b为实数)。 *两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1-p)。 (2)若XB(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)。,五.正态分布,(1)正态曲线的定义 函数 ，其中实数 和 为参数， 称 的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线， 记作 。 (2)正态曲线的特点,a.曲线位于x轴的上方，与x轴不相交； b.曲线是单峰的，它关于x=对称； c.曲线在x=处达到峰值； d.曲线与x轴之间的面积为1； e.当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿着x轴平移； f. 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 (3)正态分布的三个常用数据,