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1、第9章 质点动力学基本方程,9.1 动力学的任务 9.2 动力学的基本定律 9.3 质点运动微分方程,9.1 动力学的任务,动力学研究作用于物体上的力和物体运动状态变化之间的关系。,在动力学中经常用到的两种力学模型是质点和质点系。所谓质点是指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。,动力学可分为质点动力学和质点系动力学，前者是后者的基础。,动力学的内容极为丰富，并且随着科学技术的发展在不断发展。,动力学在工程技术中的应用也极为广泛,例如各种机器、机构等的设计、航空航天技术等，都要用到动力学的知识。,9.2 动力学的基本定律,质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿(16421
2、727)在总结前人，特别是伽利略研究成果的基础上提出来的,称为牛顿三定律。,牛顿第一定律:质点如不受力作用,则保持其运动状态不变,即保持静止或做匀速直线运动。,惯性: 不受力作用（包括受平衡力系作用）的质点，其运动状态保持不变的性质称为惯性。匀速直线运动称为惯性运动。,第二定律(力与加速度之间的关系的定律)：质点因受力作用而产生加速度，其大小与作用于质点的力的大小成正比而与质量成反比。或者质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。即,第二定律建立了质点的质量、作用于质点的力和质点运动加速度 三者之间的关系，并由此可直接导出质点的运动微分方程，它是解决 动力
3、学问题最根本的依据。上式表明，质点的质量越大，其运动状 态越不容易发生改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是物体惯 性的度量。,当质点同时受到几个力的作用时，式中的应为此汇交力系的合力，此时，第二定律可表示为：,在国际单位制(SI)中，力的单位是牛顿。质量为1kg的质点，获得1m/s2的加速度时，作用于该质点的力为1N(牛顿)，即,牛顿和达因的换算单位是,第三定律(作用与反作用定律)：两个物体间的作用力与反作用力 总是大小相等、方向相反、沿着同一直线，且同时分别作用在两个物 体上。第三定律说明了力的产生是由于两个物体相互作用而引起的。,在精密仪器工业中，也用厘米克秒制(CGS)。力的单位是d
4、yn(达因)，即,9.3 质点运动微分方程,9.3.1 质点运动微分方程三种表示法,设质点M的质量为m，在诸力F1,F2,Fn的作用下沿曲线运动，如图所示。质点动力学基本方程为,而,故有,上式称为质点运动微分方程的矢量式。将上式投影到直角坐标轴上，有,称为直角坐标形式的质点运动微分方程。将矢量形式的质点运动微分方程投影到自然坐标轴上，有,称为自然坐标形式的质点运动微分方程。,9.3.2 质点动力学的两类基本问题,1第一类问题 已知质点的运动，求作用于质点上的力。求解这类问题实际上是一个求导数的运算。求解这类动力学问题的步骤可大致归纳如下： (1) 选取研究对象，画受力图； (2) 分析运动，根
5、据给定的条件，分析某瞬时的运动情况； (3) 根据研究对象的运动情况，列质点的运动微分方程； (4) 求解未知量,2第二类问题 已知作用于质点上的力，求质点的运动。求解这类问题实际上是一个求积分的运算，积分时出现的积分常数必须由质点运动的初始条件(质点的初位置和初速度)来确定求解第二类问题时，求解的步骤和第一类问题求解的步骤基本相同。,【例9-1】质量为 m 的质点 M 在坐标平面 Oxy 内运动，已知其运动方程为x=acost，y=bsint，其中a、b和均为常数，求质点M 所受到的力。,解：应用直角坐标形式的质点运动微分方程，可得质点所受的力在x、y 轴上的投影的代数和分别为,【例9-2】
6、 质量为1kg的重物M，系于长度为l=0.3m的线上，线的另一端固定于天花板上的D点，重物在水平面内做匀速圆周运动而使悬线成为一圆锥面的母线，且悬线与铅直线间的夹角恒为60o，如图所示，试求重物的速度和线上的张力。,解：选择重物M为研究对象，受力分析如图所示。M的运动轨迹为圆周，选用自然坐标形式的质点运动微分方程,由第一式可知，v=常数 ，联立求解，可得,【例9-3】如图所示的单摆，摆长为l，摆锤的质量为m，初始时将摆锤拉到最大偏角 ，然后无初速度释放，试求单摆的运动方程。,解：选择摆锤为研究对象，分析受力如图所示。摆锤的运动轨迹为圆周，选用自然坐标形式的质点运动微分方程,而 ， ，代入上式，
7、可得,，,又因为 ，上式可表示为,引入 ，则上式可表写为,它的通解为,由初始条件 ： ， ，可得,，,，,这样单摆的运动方程可表示为,这是一个周期函数，周期为,【例9-4】试求脱离地球引力场的宇宙飞船所需的最小初速度。,解：取地球中心O为坐标原点，坐标轴x垂直向上。不妨设地球的半径为R，地球的质量为M，飞船的质量为m。取 飞船A为研究对象，受力分析如图所示。F 是地球对飞船的引力，可表示为,在地球的表面，F为飞船的重力，即有,可得,飞船的运动微分方程可表示为,即,由于，代入上式，可得,两边同时积分，可得,欲使飞船脱离地球引力范围，则当x 时，v0。取v=0，R=6370km， g=9.8 m/s2，可得,谢谢！,
