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1、4.4 高斯型求积公式,华长生制作,2,在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的,从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨论将取消这个限制条件,使求积公式的代数精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做是可行的,然后给出概念和一般理论。,华长生制作,3,例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。,解 按代数精度的概念，分别令 时 上式左边与右边分别相等，有 由第二式和第四式可得 ，结合第一式和第三式得 取 得 于是得到求积公式,华长生制作,4,它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 1次代数精度。,华长生制作,5,定义 如果上述求积公式具有2n+1次代数精度，则称该
2、公式高斯型求积公式，称 其节点为高斯点，系数 称为高斯系数。,如果象前面例子那样，直接利用代数精度的概念去求n+1个Gauss点和n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程组。方程组是可解的，但当n稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。所以下面从分析Gauss点的特性着手研究Gauss公式的构造问题 。,华长生制作,6,由插值余项 知插值型求积公式的代数精度不可能低于n，另一方 面，若取 则有截断误差 说明插值型求积公式的代数精度不可能达到2n+2,高 斯型求积公式是具有最高阶代数精度的求积公式。,华长生制作,7,定理 1 对于插值求值公式 其节点 是Gauss点的充分必
3、要条件是多项式 与任意不超过n次多项式 P(x)带权正交,即,华长生制作,8,证. 先证必要性.设P(x)是任意次数不超过n的多项式,则 的次数不超过 2n+1。因此,如果 是Gauss点，则求积公 式对于 是准确成立的，即有 但 故结论成立。,再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1的多项式，用 除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即 其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有 由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即,华长生制作,9,注意到 知 ，从而有 由此可见，求积公式对于一切次数不超过2n+1 的多项式均能准确成立。因此， 是Gauss点，定理得证。,华
4、长生制作,10,由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次 正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。,推论 n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点。,利用正交多项式得出Guass点 后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为 其中 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。,华长生制作,11,定理2 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 确成立，若取 是n次拉格 朗日插值基函数，有 即高斯系数全为正，从而算法是稳定的。,华长生制作,12,定理3 设 ,
5、则高斯型求积公式是 收敛的。 定理4 设 ，则高斯型求积公 式的截断误差为,华长生制作,13,4.4.2 高斯-勒让德求积公式 在区间-1，1上取权函数 ，取正交多项式为Legendre多 项式 以n+1次Legendre多项式的零点 为Gauss点的求积公式为 称之为Gauss-Legendre求积公式。其中,由前面的讨论知，正交多项式的零点就是高斯点，因此取不同的正交多项式就得到不同 的高斯型求积公式。,华长生制作,14,高斯-勒让德求积公式的余项为,华长生制作,15,当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， 为2；,当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 , 为1（k
6、=0,1) ;,当n=2时，三次Legendre多项式 零点为 ，以此为Gauss点，可构造出具有 五次代数精度的3点Gauss-Legendre求积公式,华长生制作,16,华长生制作,17,例 用Gauss-Legendre求积公式(n=1,2)计算积分,解 由于区间为0,1,所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 对于n=2,由三点Gauss-Legendre公式有,令 对于n=1,由两点Gauss-Legendre公式有,此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。,华长生制作,18,2.高
7、斯-切比雪夫求积公式 在区间-1,1上取权函数 的正交多项式是Chebyshev正交 多项式。n+1次Chebyshev多项式 的零点为,以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为,其中 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss- Chebyshev求积公式如下,华长生制作,19,对于n=2,三次Chebyshev多项式为 ，三点Gauss-Chebyshev求积公式为,华长生制作,20,例 计算积分,解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 于是有,华长生制作,21,3.高斯-拉盖尔求积公式 将插值型求积公式中的区间a,b换成区 间0， ，权函数取为 ，取节点 为n+1次拉盖尔多项式 的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为,华长生制作,22,其中 截断误差为,书上表4.6给出了部分高斯-拉盖尔求积公式的节点和系数。,华长生制作,23,4. 高斯-埃尔米特求积公式 高斯-埃尔米特求积公式是全无穷区间上的高 斯型求积公式 其中节点 为 上带权 正交的n+1次埃尔米特多项式 的零点，,华长生制作,24,系数 截断误差,书上表4.7给出了部分高斯-埃尔米特求积公式的节点和系数。,
