第五部分正弦电路的稳态分析培训讲学

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1、第五章 正弦电路的稳态分析,5.1 正弦电压和电流 5.2 利用相量表示正弦信号 5.3 R、 L、 C元件VAR的相量形式和 KCL、KVL的相量形式 5.4 阻抗与导纳 5.5 电路基本元件的功率和能量 5.6 正弦稳态电路中的功率 5.7 正弦稳态电路中的最大功率传输 5.8 正弦稳态电路的相量分析法 5.9 三相电路概述 5.10 小结,5.1 正弦电压和电流,5.1.1 正弦量的三要素,所谓周期信号，就是每隔一定的时间T，电流或电压的波形重复出现；或者说，每隔一定的时间T，电流或电压完成一个循环。图 5.1-1 给出了几个周期信号的波形， 周期信号的数学表示式为,式中k为任何整数。周

2、期信号完成一个循环所需要的时间T称为周期， 单位为秒(s)。,图 5.1-1 周期信号,周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，用f表示。 显然，频率与周期的关系为,频率的单位为赫兹(Hz)。 我国电力网所供给的交流电的频率是 50 Hz，其周期是0.02s。实验室用的音频信号源的频率大约从2020103Hz左右，相应的周期为0.05s0.05 ms 左右。,按正弦(余弦)规律变化的周期信号，称为正弦交流电，简称交流电。以电流为例，其瞬时表达式为,由于正弦信号变化一周，其相位变化了2弧度，于是有,表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，称为角频率，其单位是弧度/秒(rad/s)。当t=0时，相

3、位角为i，称为初相位或初相角，简称初相。工程上为了方便，初相角i常用角度表示。,5.1.2 相位差,假设两个正弦电压分别为,它们的相位之差称为相位差，用表示，即,两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差。,图 5.1-3 相位差,例 5.1-1 已知正弦电流i(t)的波形如图 5.1-4 所示，角频率=103rad/s。试写出i(t)的表达式，并求i(t)达到第一个正的最大值的时间t1。,图 5.1-4 例 5.1-1用图,解 由图可知，i(t)的振幅为 100A， 即,当t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得,故,当t1=/3时，电流达到正最大值，即,于是,由于i(t)的正

4、最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即,例 5.1-2 设有两频率相同的正弦电流,问哪个电流滞后，滞后的角度是多少?,解 首先把i2(t)改写成用余弦函数表示，即,故相位差,5.1.3 有效值,正弦信号的有效值定义为：让正弦信号和直流电分别通过两个阻值相等的电阻。如果在相同的时间T内(T可取为正弦信号的周期)，两个电阻消耗的能量相等，那么，我们称该直流电的值为正弦信号的有效值。 当直流电流I流过电阻R时，该电阻在时间T内消耗的电能为,当正弦电流i流过电阻R时，在相同的时间T内，电阻消耗的电能为,上式中p(t)表示电阻在任一瞬间消耗的功率，即p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)。根据有效

5、值的定义，有,故正弦电流的有效值为,正弦电流的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根，故有效值也称为均方根值。 类似地，可得正弦电压的有效值为,(5.1-5),将正弦电流的表达式,代入(5.1-5)式， 得正弦电流的有效值为,同理，可得正弦电压的有效值,必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是有效值。 引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成,5.2 利用相量表示正弦信号,一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。设A为一复数，a1和a2分别为其实部和虚部，则,代数型,指数型,式中a称为复数A的模；称为复数A的辐角。,图 5.2-1 复数的图示,实部a1和虚部a2

6、也表示为,和,5.2.1 利用相量表示正弦信号,假设某正弦电流为,根据欧拉公式,可以把复指数函数Im e j(t+i)展开成,(5.2-3),式中,把式(5.2-3)进一步写成,图 5.2-2 相量图,图 5.2-3 旋转相量及其在实轴上的投影,例如，已知角频率为的正弦电流的相量 ， 那么该电流的表达式为,若已知正弦电压u=10cos(t-45) V， 则电压相量为,相量也可以用有效值来定义， 即,5.2.2 几个定理,1. 定理 1 如果K是一个实常数，A(t)是任何实变数t的复函数，则,证明 设,则,故,2. 定理 2 如果A(t)和B(t)是任何实变数t的复函数，则,证明,设,则,3.

7、定理 3,设相量,， 则,4. 定理 4 设 和 为相量，为角频率。如果在所有时刻都满足,则,例 5.2 1 电路如图 5.2 - 4(a)所示，已知电流i1和i2分别为,图 5.2 4 例 5.2 - 1用图,5.3 R、L、C元件VAR的相量形式 和KCL、KVL的相量形式,5.3.1 R, L, C元件VAR的相量形式,1. 电阻元件 假设电阻R两端的电压与电流采用关联参考方向，如图5.3 - 1 所示。设通过电阻的正弦电流为,5.3-1 电阻元件,对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和电压之间满足欧姆定律，即,电阻上的正弦电流和电压用相量表示为,根据欧姆定律，有,图5.3-2 电阻元件的电

8、流、电压波形和相量图,2. 电感元件 设有一电感L，其电压、电流采用关联参考方向，如图 5.3-3(a)所示，当通过电感的电流为,图 5.3-3 电感元件,它们振幅之间的关系为,式中XL=L=2fL具有电阻的量纲，称为感抗。当L的单位为H，的单位为rad/s时，XL单位为。,对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的感抗越大；反之越小。,式中,根据,(5.3-6),因为(5.3-6)式可以写成,图 5.3-5 电感元件的电流、电压波形图,3. 电容元件,图 5.3-6 电容元件,当电容两端的电压为,时，通过电容的电流,通过电容的电流与电容电压是相同频率的正弦量，而且电流的相位超前电压 90。它

9、们振幅之间的关系为,具有电阻的量纲，称为容抗。当C的单位为F，的单位为rad/s时，XC的单位为。,当电容C一定时，频率越高，其所呈现的容抗越小；反之越大。,图 5.3-7 XC的频率特性曲线,电容电压和电流可用相量表示为,式中,，根据,上式可写成,根据节 5.2 中定理 4， 可得,或,（5.3-11）,因为(5.3-11)式可以写成,故,图 5.3-8 电容元件的电流、电压波形图,5.3.2 KCL、KVL的相量形式,对于任意瞬间，KCL的表达式为,图 5.3-9 流向节点A的电流分布,对于图 5.3-9 所示的节点A 有,对于任意节点，则有,流出任意节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。

10、,同理可得KVL的相量形式为,或,它表明，在正弦稳态电路中，沿任意闭合回路绕行一周，各支路电压相量的代数和恒等于零。,例 5.3-1图 5.3-10(a)所示RL串联电路。已知R=50, L=25H, us(t)=10cos106tV。求电流i(t)，并画出相量图。,图 5.3-10 例 5.3-1用图,解 激励us(t)的相量为,例5.3-2 RC并联电路如图 5.3-11(a)所示。已知R=5, C=0.1 F, us(t)= 10cos2t V。求电流i(t)并画出相量图。,图 5.3-11 例 5.3-2用图,解 电压源us的有效值相量为,5.4 阻 抗 与 导 纳,5.4.1 阻抗与

11、导纳,图 5.4-1,端口电压相量与电流相量的比值定义为阻抗，并用Z表示,可改写成,如果无源二端网络分别为单个元件R、L和C， 则它们相应的阻抗分别为,把阻抗的倒数定义为导纳，并用Y表示， 即,(5.4-4),导纳Y的单位是西门子(S)。当无源二端网络分别为单个元件R、L和C时，它们相应的导纳分别为,式中G为电导， 和BC=C分别称为感纳和容纳， 单位为西门子(S)。,(5.4-4)式也可改写为,5.4.2 RLC串联电路,图 5.4-2 RLC串联电路及其相量模型,设电路中的电流为,根据R、 L、 C元件的VAR， 有,阻抗Z也可写成极坐标形式， 即,式中|Z|和Z分别称为阻抗模和阻抗角。,

12、阻抗模等于电压相量 与电流相量 的模值之比，阻抗角等于电压相量 超前电流相量 的相位角。若Z0，表示电压相量 超前电流相量 ； 若Z0，表示电压相量 滞后电流相量 。,由于电抗,与频率有关，因此，在不同的频率下，阻抗有不同的特性。,图 5.4-3 RLC串联电路的相量图,5.4.3 GCL并联电路,图 5.4-5 GCL并联电路的相量模型,导纳模|Y|, 导纳角y与电压 、 电流 的关系为,导纳模等于电流 与电压 的模值之比。,导纳角等于电流 与电压 的相位差。,例5.4-2 有一个RCL并联电路，已知R=10 , C=0.5F, L=5H，正弦电压源的电压有效值U=2V, =106 rad/

13、s。 求总电流 并说明电路的性质。 解 电路的导纳为,导纳角Y=71.56，表示电流 超前电压 为71.56。 因此，电路呈电容性。,5.4.4 阻抗和导纳的串、并联,若有n个阻抗相串联，它的等效阻抗为,分压公式为,为n个串联阻抗的总电压相量； 为第i个阻抗上的电压相量。,若有n个导纳相并联，它的等效导纳为,分流公式为,为通过任一导纳Yi的电流相量； 为总电流相量。,若两个阻抗Z1和Z2相并联，则等效阻抗为,分流公式为,例5.4-3 RL串联电路如图 5.4-6 所示。若要求在=106rad/s时，把它等效成RL并联电路，试求R和L的大小。,图 5.4-6 例 5.4-3 用图,解,例 5.4

14、-4 电路如图 5.4-7(a)所示。其中 求电流i(t), iL(t)和iC(t)。,图5.4-7 例5.4-4用图,图5.4-8 例5.4-4解题图,解,例5.4-5 电路如图 5.4-9(a)所示。已知R1=30 , R2=100, C=0.1F, L=1mH, 。求电压u(t)和ab两端的等效阻抗Zab。,图 5.4-9 例 5.4-5 用图,解,5.5 电路基本元件的功率和能量,图5.5-1 电阻元件的瞬时功率波形,设电压u(t)为,瞬时功率在一周期内的平均值，称为平均功率。用P表示，即,或用有效值表示为,平均功率也称为有功功率。通常，我们所说的功率都是指平均功率。 例如， 60W灯

15、泡是指灯泡的平均功率为60 W。,设电感电压u为,电感电流i滞后电压 90，即,电感贮存的磁能为,利用三角公式sin2 X=(1-cos2X)/2, 上式可改写成,图5.5-2 电感的瞬时功率和能量的波形,当t=T/4 时，电感的贮能达到最大值,电感是不消耗能量的，它只是与外电路或电源进行能量交换，故平均功率等于零。,图 5.5-3 电容的瞬时功率和能量波形,设电容电压u为,电容的瞬时功率为,电容贮存的电能为,利用三角公式,上式可改写成,电容的平均贮能为,在(0T/4)期间：u0, i0，电容吸收功率。这时， 电容反向充电，电容电压由零逐渐达到负的最大值，电容从外电路或电源获得能量并贮存在电场

16、中。当t=T/2时，电容的存贮能量达到最大值,电容也不消耗能量，只是与外电路或电源进行能量交换， 故平均功率也等于零。,例5.5-1 电路如图 5.5-4(a)所示，已知 ， 求电阻R1, R2消耗的功率和电感L、电容C的平均贮能。,图 5.5-4 例 5.5-1 用图,解,5.6 正弦稳态电路中的功率,5.6.1 二端电路的功率,图 5.6-1 二端电路的瞬时功率波形,设端口电压为,电流i是相同频率的正弦量，设为,当u0, i0或u0；当u0， i0 时，二端电路供给功率，p0。这表明二端电路中的动态元件与外电路或电源进行能量交换。 在一周期内，二端电路吸收的功率大于供给的功率。二端电路的平均功率不为零， 即,图 5.6-2 无源二端电路可以等效为阻抗,电压与电流的相位差等于阻抗角， 即,阻抗的平均功率不仅与电流、电压的振幅(或有效值)大小有关，而且与cosZ有关。cosZ称为功率因数，通常用表示，故阻抗角Z也称为功率因数角。 当阻抗为电阻