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1、第8讲数列求和,总纲目录,考点一利用Sn、an的关系式求an,在数列an中,an与Sn的关系: an=,1.已知数列an的前n项和Sn=2n-1,则+=() A.(2n-1)2B.(2n-1) C.4n-1D.(4n-1),答案Dan=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1(n2),n=1时,a1=S1=1,满足上式,+=1+22+24+22n-2=(4n-1).故选D.,2.设数列an的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1,则Sn=.,答案(3n-1),解析由2Sn=3an-1, 得2Sn-1=3an-1-1(n2), 由-,得2an=3an-3an-1.=3(n2). 又
2、2S1=3a1-1,2S2=3a2-1,a1=1,a2=3,=3. an是首项为1,公比为3的等比数列. Sn=(3n-1).,3.已知数列an满足a1+2a2+3a3+nan=n+1(nN*),则数列an的通项公式是.,答案an=,解析当n=1时,a1=2;当n2时,a1+2a2+3a3+nan=n+1,所以a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=n,两式相减,得nan=(n+1)-n=1,an=.an=,方法归纳,给出Sn与an的递推关系求an的一般思路 一是利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式; 二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求a
3、n.,考点二数列求和,数列求和最常用的四种方法 (1)公式法: 适合求等差数列或等比数列的前n项和,对于等比数列,利用公式法求和时,一定要注意q是否取1. (2)错位相减法: 这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,主要用于求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列.,(3)裂项相消法: 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用于求数列的前n项和.若an为等差数列,d为公差,则,=. (4)分组求和法: 一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分(即能分别求和),然后再合并.,命题角度一分组
4、法求和,例1设等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列bn的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*. (1)求数列an,bn的通项公式. (2)设cn=求数列cn的前n项和Pn.,解析(1)设等差数列an的公差为d.由题意,得解得 所以an=4n. 因为Tn-2bn+3=0, 所以当n=1时,b1=3;当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0, 由-,得bn=2bn-1(n2). 所以数列bn为等比数列.所以bn=32n-1. (2)cn= 当n为偶数时,Pn=(a1+a3+an-1)+(b2+b4+bn)=+,=2n+1+n2-2. 当n为奇数时, 解法一:n-1为偶
5、数,Pn=Pn-1+cn=2(n-1)+1+(n-1)2-2+4n=2n+n2+2n-1. 解法二:Pn=(a1+a3+an-2+an)+(b2+b4+bn-1) =+=2n+n2+2n-1. 所以Pn=,方法归纳 在处理一般数列求和时,一般要注意使用转化思想,把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时,要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解,在利用分组求和法求和时,有时数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行讨论,最后验证是否可以合并为一个公式.,例2(2018陕西质量检测一)已知在递增的等差数列an中,a1=2,a3是a1和a9的等比中项.
6、 (1)求数列an的通项公式; (2)若bn=,Sn为数列bn的前n项和,求S100的值.,命题角度二裂项相消法求和,解析(1)设公差为d(d0),则an=a1+(n-1)d. a3是a1和a9的等比中项, =a1a9,即(2+2d)2=2(2+8d),解得d=0(舍去)或d=2. an=2+2(n-1)=2n. (2)由(1),得bn=. S100=b1+b2+b100 = =.,方法归纳,1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项分成两项或多项,使这些分开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项.,2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项
7、.,例3(2017天津,18,13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).,命题角度三错位相减法求和,解析(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12.而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.又因为q0,所以q=2.所以bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16. 联立,解得a
8、1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n. (2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn. 由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n, 故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1. 上述两式相减,得 -3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1 =-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8. 所以Tn=4n+1+. 所以数列a2nb2n-1的前n项和为4n+1+.,方法归纳,应用错
9、位相减法求和需注意的问题 (1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和,其中an为等差数列,bn为等比数列. (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.,1.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=1,S3=a5.令bn=(-1)n-1an,则数列bn的前2n项和T2n=() A.-nB.-2n C.nD.2n,答案B设等差数列an的公差为d. 由S3=a5,得3a2=a5, 3(1+d)=1+4d,解得d=2. an=2n-1.bn=(-1)n-1(2n-1), T2n=1-3+5-7+(4n-3)-(4n-1)
10、=-2n.故选B.,2.(2018郑州第二次质检)在各项均为正数的等比数列an中,a1=8,且2a1,a3,3a2成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn=,求bn的前n项和Sn.,解析(1)设等比数列an的公比为q(q0). 2a1,a3,3a2成等差数列, 2a3=2a1+3a2,即2a1q2=2a1+3a1q. 2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-(舍去). an=82n-1=2n+2. (2)由(1)可得bn=. Sn= =,=- =-.,考点三数列中的不等式问题,例设Sn为数列an的前n项和,已知a1=2,对任意nN*,都有2Sn=(n+1)an. (
11、1)求数列an的通项公式; (2)若数列的前n项和为Tn,求证:Tn1.,解析(1)因为2Sn=(n+1)an, 所以2Sn-1=nan-1(n2). 两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1(n2), 即(n-1)an=nan-1(n2), 所以当n2时,=, 所以=. 因为a1=2,所以an=2n. (2)证明:an=2n,令bn=,nN*, 则bn=-.,所以Tn=b1+b2+bn =+=1-. 因为0,所以1-1. 因为y=在N*上是递减函数, 所以y=1-在N*上是递增函数. 所以当n=1时,Tn取得最小值. 所以Tn1.,方法归纳,解决数列与函数、不等式的综合问题的注意点 (
12、1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别注意; (2)解题时应准确构造函数,利用函数性质时应注意限制条件; (3)证明不等关系时进行适当的放缩.,(2018洛阳第一次统考)已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设Tn为数列的前n项和,若Tnan+1对一切nN*恒成立, 求实数的最大值.,解析(1)设数列an的公差为d(d0).由已知, 得 解得或(舍去). 所以an=n+1. (2)由(1)知=-, 所以Tn=+=-=. 又Tnan+1恒成立,所以=2+8.,而2+816,当且仅当n=2时,等号成立, 所以16,即实数的最大值为16.,
