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1、前言 在科学技术发展到跨进21世纪的今天，应该交给大学生什么样的数学，数学科学的哲学和方法论、数学应用的思维方式如何，以及把数学作为技术开发的工具是怎么样的等等，这一系列问题已经尖锐地摆在工科数学教育工作者面前。目前，大家已经形成的共识是，讲授数学知识不能仅仅局限于伴随牛顿力学产生和发展起来并于一百来年已经形成的经典理论，而是不仅教给学生数学基础理论，还要教给学生应用数学的技能，特别是数学建模和计算机模拟的本领；数学应用的思维方式在提倡抽象思维的同时更强调形象思维或直感思维，使用几何方法，形象化的描述及计算机图示，因为图形对想象力和创造力是强有力的刺激因素；数学应用要把计算机及其技术作为不可缺
2、少的工具和手段，使大学生学习计算机同数学科学的学习与研究紧密结合，不但会用计算机，而且能理解计算机给出的答案。这些共识就是数学教育改革所追求的方向和目标。绪论：如何认识数学数学是人类最古老同时又是最富生命力的知识领域之一。在近几百年，几乎每个世纪，数学都出人意料地获得惊人的发展而创造出新的黄金时代。然而，时至今日仍有不少人对学习、研究数学的目的和意义产生种种疑惑，特别是刚进入高等学校的接受工程技术教育的学生们总是对学习数学产生一系列的疑问，问的最多的是“学习数学对以后所从事的技术工作有什么用？”。甚至有人认为随着计算机技术的发展，大量的计算问题可以由计算机软件处理，学习数学知识已不那么重要了。
3、应该说这是我们数学教育现在必须回答的一个带有根本性的问题。当然，大多数人学习数学既不想当数学家，也不想从事数学教育工作，只是为了进一步学习专业知识和技术而学习数学，而我们面向工程技术教育的学生讲授数学的方式以及学生的学习方法确实有很多地方值得认真反思。一方面，过分的注重“纯数学”的严密体系、严格的证明和复杂计算，而不注重它的应用性和工具性（科学语言）；另一方面，只满足于会作题、应付考试的“应试学习”方式，致使学生们无法对数学知识、思想、方法及其应用价值有明晰的认识。为此，我们提出新的尝试，既传授基本的数学知识，又训练应用技能。本章的目的是想让学生对数学有一个基本的概括性认识。一、 数学无处不在
4、数学是研究数和形及其关系的一门科学。它以研究现时世界中的数量关系和空间形式为主要任务。通俗地讲，数学是以数字、符号、形状和模式来代替文字的一套特殊语言系统。或者说，数学是一种能够描述各种客观规律的语言，是任何学科都要用到的、无比有用、无所不能、神通广大、全球共通的一种特殊语言。正像已故的著名数学家华罗庚教授所说，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用数学，研究量（或形）的关系、量（或形）的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为语言工具。我们现在无法真正理解为什么毫无智能的动物、植
5、物，甚至低等生物，都会进行奇特的数学创造。如某些细菌的繁殖会满足一些奇妙的数学规律，植物的花瓣形成精美的几何图形，某些贝壳和松果具有螺旋形生长模式等等。自然界充满着数学概念的实例。这就是数学之所以成为描述、解释自然现象的语言的原因。例如，圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造，要分析这个美丽结构用数学方法进行分析时，出现在蜘蛛网中的数学概念是惊人的：半径、弦、平行线段、三角形、全等对应角、对数螺线、悬链线和无理数e 。我们知道蜜蜂营造的蜂房也是奇妙的数学图形。十八世纪初，法国学者马拉尔奇测量了蜂房，发现正面看去它是镶嵌得如此天衣无缝的正六角形，蜂王的底都是由三个全等的菱形组成的，菱形的钝角都是10
6、9，锐角都是等于70（图0-1），这不仅是蜂房 图0-1的空间结构呈如此精美的几何形状，而且据巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格与苏格兰数学家马克劳林的理论计算，这种结构消耗最少的材料和最少的“工时”，这里竟然符合最优化的数学原理，真是不可思议！蜜蜂没有学过镶嵌理论、求解最大值和最小值方法、解线性代数问题和求含约束条件的最优解的艺术，而它却实实在在进行了奇妙的符合数学原理的工程技术创造，这不正是把自然界与数学联系起来的例证吗？在矿物结构中，同样可以找到许多更为奇妙的空间图形，如食盐矿的晶体呈正方体形状，明矾的晶体呈正八面体形状，而矿物质中其它更多的晶体呈更为复杂的几何形状，如十字架石晶体呈正交或
7、斜交十字架双晶形；电气石晶体色泽美丽可作为宝石，呈拄状晶形，拄面有明显的纵条纹，横断面呈弧线三角形；如石榴石的晶体结构呈菱形十二面体或四角三八面体的复杂美妙的几何形状，透明色泽的也可作为宝石等（图0-2）。 图0-2再从宏观来看，我们所生活的地球与它的卫星月亮之间有着紧密的联系，月亮是沿着椭圆形轨道绕地球旋转的。轨道的远日点距离为406700公里（最大），近日点距离为356400公里（最小），亿万年来，都是如此周而复始地按此规律运行。我们所处的宇宙里，天体之间运行规律无一不是精确的数学关系式。伟大的天文学家开普勒在谐和宇宙一书中进一步研究行星运动规律，发现了著名的开普勒行星运动运动三大定律：
8、（1）行星绕太阳运行的轨道是椭圆形的，而太阳在椭圆的一个焦点上。这个定律说明了行星运动轨道的数学形式为： 运动方程为： ， . 离心率为：（2）行星的向径（行星与太阳的连线）在相等的时间内扫过相等的面积。这个定律说明了行星的运动速度的数学形式为：.（如图0-3所示）（3）行星绕太阳公转周期的平方与它们到太阳的平均距离的立方成正比例。这个定律说明行 图0-3星行星运动的周期性。事实上，说明（其中a表示行星到太阳的平均距离，T表示公转周期，G为万有引力常数，M为太阳质量）。三定律的发现，不仅使人们准确地预先计算出行星的未来的位置，编制成行星的星历表供航海与大地测量使用，更重要的是人们可以利用数学的
9、帮助去发现新的行星。果然，在开普勒以后的一百年后，德国天文学家提出在行星的轨道间缺一颗行星，1781年，德国天文学家威廉赫歇发现了这颗新星，这就是著名的天王星。19世纪中叶，法国天文学家勒维耶（1811-1877）和英国天文学家亚当斯（1819-1892），分别独立计算出一颗新行星，命名为海王星。这些行星运动的规律、以及新行星的发现，都是数学方法的光辉应用的结果。目前已发现了距太阳约60亿公里的最遥远的一颗大行星冥王星，因此，人们已经知道了太阳系有九大行星。而且在火星与木星之间发现两千多颗小行星。太阳系所在的星系，成为银河星系。银河星系的面目已研究的比较清楚了。它的形状像个铁饼，直径10万光年
10、，中央厚度约1万光年。银河系中的物质分布成旋涡状，状似螺线，太阳系在银河系的边沿。90年4月美国发射太空的哈伯望远镜，观察到遥远星系的状况，并发现这些星系的运行规律与人们利用数学计算推测的结果几乎是一致的。如今，人们利用数学不仅能计算出星系的运行规律，而且还能计算出恒星的寿命，以及太阳系、地球、宇宙的年龄等等，这些研究成果越来越使人类更清晰地了解我们的宇宙过去、现在和未来。至于人类自身的发明创造，更与数学有密切的联系。高耸入云的摩天大楼、大跨度的大桥、高性能的电子仪器设备、人造卫星、航天飞机、计算机网络与信息通讯设施等等，这些全是人类数学智慧的结晶。二、数学伴随人的一生从婴儿出生的第一刻起，父
11、母要记他的出生时间、医生要为他量体重和身长，还要检查各项健康指标，定时、定量哺乳、进食，这些都于数学有关，婴儿一出生就遇到了数学，并在以后的时光里，数学将帮助婴儿健康成长。随着幼儿的成长，越来越离不开数学。一旦人开口学说话，大人开始教数“1，2，3，”，“识数”是人生的第一课。后来逐渐能直观地识别物体大小、东西的多少，这就有了初步的数量概念，漫漫地大人教他学习画三角形、正方形和圆等等。当你会到商店买东西，就学会了简单计算；正是有了这些初步的数量概念，才会有时间概念，知道什么时候看电视、什么时间睡觉，也会记住一些重要的节日和自己的生日等；也正是有了这些初步的几何图形概念和简单计算能力，才使幼儿逐
12、渐具有了数量、运算、空间、形状等初始的数学思想意识。不难想象，如果我们人类没有这些数、量、空间、形状与关系的思想意识，人类将和其它动物一样，陷入何等浑噩无知与黑暗之中，那将是非常可怕的混沌的时代。事实上，人类的祖先开启智能的标志之一，就是有了数量和几何形状的观念和意识。当我们进入小学、中学学校学习，开始正式学习数学这门学科，懂得了更为深奥的数学语言和图形语言。知道了整数、小数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数和复数，明白了相等与不等、方程与函数、有限与无限、数列与极限；懂得了图形的全等与相似、直线、圆、轴对称和中心对称、平移、旋转、标量、矢量、坐标、正弦曲线、余弦曲线、抛物线、椭圆、双曲
13、线，多面体、旋转体，空间曲线和曲面等等。我们也学会了加、减、乘、除、乘方、开方，整式、分式、幂式、根式、方程式、函数式，等式、不等式，排列、组合、二项式展开的运算，学会了几何作图、等分、等积变形、分割、展开、放大、缩小、平移、旋转、反射以及无限细分与无限积累等数学方法。这样以来我们的大脑里已经装进了人类数千年长期总结积累的初等数学知识的精粹与思维的模式，使我们的思维方式更科学化了，也就是说，数学训化了我们的大脑，使我们更聪明睿智了。进入高等教育阶段，我们要成为某个学科或技术领域的专门人才，要学习系统的专业知识和技术，就需要更多、更深入的数学知识。我们要弄懂函数与极限、函数与连续，函数的导数、微
14、分、不定积分、定积分、曲线积分、曲面积分，拉氏变换和逆变换，级数、傅立叶级数与函数的泰勒展式，微分方程，行列式、矩阵、线性方程组和n维向量，概率统计，图论，线性规划与动态规划等一系列数学概念和知识，同时我们还要学会利用这些概念和知识，会计算变化率、改变量，会分析函数的性质和函数图形的特征，会求函数的极值，会进行近似计算与误差分析，会求函数曲线所围成的图形的面积、曲线长度和曲面体积，会求解一阶线性微分方程和二阶常系数微分方程，会求一些函数的拉氏变换和逆变换，会把一个函数展成幂级数、把周期函数展成傅立叶级数，会求行列式的值、会进行矩阵变换和解线性方程组，会求矩阵的特征值和特征向量，会求概率和进行简
15、单的统计分析，会利用图论方法、线性规划和动态规划解决一些优化问题，会利用已有的数学知识和方法建立数学模型等等。十余年的数学学习，不仅增长了知识，还学会了逻辑思维，就这一点对人的帮助最大。当你会归纳、类比、联想，会灵活处理问题，增强了直觉能力，有了数感，有了形感时，那你会变得更聪明、智慧。当你走向技术或管理岗位，经常要借助计算机进行工程计算或经济核算，经常要进行分析、判断和决策。这使你感到通过数学培养出的能力有了用武之地。目前出现的一些优秀数学软件功能非常强大，不仅能进行数值计算，而且还能进行符号运算，这不仅使繁琐的计算、推导变得轻松自如，而且也能协助我们进行逻辑思维，作出正确判断。因此学会利用
16、流行的数学软件已是工程师、经济师们必不可缺学习任务。我们要相信，这一系列数学知识的掌握和数学能力的培养，是你成为一名高级技术或管理人才的基础。我们不难发现，如今的社会生活信息化程度越来越高，终身学习已经成为人的一种特别需要，“会学习”已成为当今社会对人的一种基本要求。然而，“会学习”的前提是必须具备通过数学培养出的足够的 “阅读”能力和逻辑思维能力。事实证明，没有经过数学逻辑思维训练的人，一般不会有健全的学习能力。当然，不一定是终身要学数学，但一定是终身要用数学。毫无疑问，数学将伴随人的一生。三、 数学的基本特征数学是人类智力的产物，许多人认为它具有三个最基本的特征：一是高度抽象性，二是高度精确性，三是广泛应用性。1 数学的高度抽象性
