《2019年高考全国Ⅲ卷理科数学真题(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考全国Ⅲ卷理科数学真题(含答案)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 21已知集合A 1,0,1,2 ，B x| x 1，则AI B A1,0,1 2若z(1i) 2i，则z= A1i B0,1 C1,1 D0,1,2 B1+iC1iD1+i 3西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著. 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况， 随机调查了 100 位学生， 其中阅读过 西游记 或 红楼梦 的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红
2、楼梦的学生共 有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A0.5B0.6C0.7D0.8 4（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A12B16C20D24 5已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且a5=3a3+4a1，则a3= A16 x B8C4D2 6已知曲线y ae xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 Aa e，b 1Ba=e，b=1Ca e1，b 1 Da e1，b 1 2x3 7函数y x 在6,6的图像大致为 x2 2 AB CD 8 如图， 点N为正方形ABCD的中心， ECD为正三角形， 平面ECD
3、平面ABCD，M是线段ED的中点， 则 ABM=EN，且直线BM，EN是相交直线 BBMEN，且直线BM，EN是相交直线 CBM=EN，且直线BM，EN是异面直线 DBMEN，且直线BM，EN是异面直线 9执行下边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出s的值等于 A2 1 24 B2 1 25 C2 1 26 D2 1 27 x2y2 10双曲线C： =1 的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若PO = PF，则 42 PFO的面积为 A 3 2 4 B 3 2 2 C2 2D3 2 11设 f x是定义域为 R 的偶函数，且在0,+单调递减，则 4 23 1 Bf（log
4、3）f（ 3）f（2） 22 4 23 1 Cf（ 2）f （ 3）f（log3 ） 22 4 23 1 Df（ 3）f（2）f（log3 ） 22 4 12设函数 f x=sin（ x ）(0)，已知 f x在0,2有且仅有 5 个零点，下述四个结论： 5 f x在（ 0,2）有且仅有 3 个极大值点 f x在（ 0,2）有且仅有 2 个极小值点 1 Af（log3）f（ 2 3 2 ）f（ 2 ） 2 3 ）单调递增 10 12 29 的取值范围是， ) 5 10 f x在（0, 其中所有正确结论的编号是 ABCD 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知a
5、a，b b为单位向量，且a ab b=0，若c c 2a a 5b b，则cos a a,c c _. 14记Sn为等差数列an的前n项和，a 10，a2 3a 1 ，则 S 10_. S 5 x2y2 15设F 1 ，F 2 为椭圆C: +1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若MF 1F2 为等腰三角形， 3620 则M的坐标为_. 16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD A 1B1C1D1 挖去四棱 锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点， AB= BC = 6 cm, AA 1 = 4 cm，3D
6、 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所 需原料的质量为_g. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每 组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、 摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别
7、 得到如下直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为 0.70 （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 18（12 分） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin （1）求B； （2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围 19（12 分） 图 1 是由矩形ADEB， RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 其中AB=1，BE=BF=2， FBC=60， 将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图
8、2. （1）证明：图 2 中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE； （2）求图 2 中的二面角BCGA的大小. AC bsinA 2 20（12 分） 已知函数f (x) 2x ax b. （1）讨论f (x)的单调性； 32 （2）是否存在a,b，使得 f (x) 在区间0,1的最小值为1且最大值为 1？若存在，求出a,b的所有值； 若不存在，说明理由. 1x2 21已知曲线C：y=，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. 22 （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0， 5 )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面
9、积. 2 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B( 2, )，C( 2, 4 ，CD 所在圆的 )，D(2,)，弧 AB ，BC 4 ，曲线M 3 是弧CD .圆心分别是(1,0)，(1, )，(1,)，曲线M 1 是弧 AB ，曲线M 2 是弧BC （1）分别写出M 1 ，M 2 ，M 3 的极坐标方程； （2）曲线M由M 1 ，M 2 ，M 3 构成，若点P在M上，且|OP | 2 3，求P的极坐标. 23选修 45：不等式选讲（10 分）
10、 设x, y,zR，且x y z 1. （1）求(x1) (y 1) (z 1) 的最小值； （2）若(x2) (y 1) (z a) 222 222 1 成立，证明：a3或a1. 3 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题 1A2D3C4A5C6D7B8B9C10A 二、填空题 13 2 3 14415(3, 15)16118.8 三、解答题 17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35 b=10.050.150.70=0.10 （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70
11、.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00 18解：（1）由题设及正弦定理得sinAsin AC 2 sinBsinA 因为sinA0，所以sin AC 2 sinB 由ABC180，可得sin AC 2 cos B 2 ，故cos B 2 2sin BB 2 cos 2 因为cos B 2 0，故sin B1 2 2 ，因此B=60 11C12D （2）由题设及（1）知ABC的面积S ABC 3 a 4 csin A sin120 C 31 由正弦定理得a sinCsinC2tanC2 由于ABC为锐
12、角三角形， 故0A90， 0C90， 由 （1） 知A+C=120， 所以30C0，则当x(,0)U a a (,0), ,单调递增，在0, 单调递减； 3 3 若a=0，f (x)在(,)单调递增； 若a0，则当x, a a U(0,)x 时，；当f (x) 0 ,0 时，f (x) 0故f (x)在 3 3 a a ,(0, )单调递增，在 ,0 单调递减. 3 3 （2）满足题设条件的a，b存在. （i）当a0 时，由（1）知，f (x)在0，1单调递增，所以f (x)在区间0，l的最小值为f (0)=b，最 大值为f (1) 2a b.此时a，b满足题设条件当且仅当b 1，2ab 1，
13、即a=0，b 1 （ii）当a3 时，由（1）知，f (x)在0，1单调递减，所以f (x)在区间0，1的最大值为f (0)=b， 最小值为f (1) 2a b此时a，b满足题设条件当且仅当2ab 1，b=1，即a=4，b=1 a3 a b， 最大值为b或2ab（iii） 当 0a3 时， 由 （1） 知，f (x)在0， 1的最小值为f 27 3 a3 b 1，b=1，则a 332，与 0a3 矛盾.若 27 a3 b 1，2ab 1，则a 3 3或a 3 3或a=0，与 0a3 矛盾若 27 综上，当且仅当a=0，b 1或a=4，b=1 时，f (x)在0，1的最小值为-1，最大值为 1
14、21解：（1）设Dt, 1 , 2 Ax 1, y1 ，则 x 1 2 2y 1 . 1 2 x .由于y x，所以切线DA的斜率为x 1 ，故 1 x 1 t y 1 整理得2 tx 1 2 y 1 +1=0. 设Bx 2 ,y 2 ，同理可得 2tx 2 2 y 2 +1=0. 故直线AB的方程为2tx2y 1 0. 1 所以直线AB过定点(0, ). 2 （2）由（1）得直线AB的方程为 y tx 1 y tx 2 由 ，可得x22tx1 0. 2 y x 2 1 . 2 于是x 1 x 2 2t,x 1x2 1,y 1 y 2 t x 1 x 2 1 2t 21， | AB| 1t2x
15、 1 x 2 1t2 x 1 x 2 2 4x 1x2 2t21. 2 t 1 2 设d 1,d2 分别为点D，E到直线AB的距离，则d 1 t21,d 2 因此，四边形ADBE的面积S 1 | AB| d 1 d 2 t23t21. 2 . 1 设M为线段AB的中点，则M t,t 2 . 2 uuuu ruuu ruuu ruuuu r 2 由于EM AB，而 EM t,t 2 ，AB与向量(1, t)平行，所以t t22t 0.解得t=0或 t 1. 当t=0时，S=3；当t 1时，S 4 2. 因此，四边形ADBE的面积为3或4 2. ,CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos， 2si
16、n， 2cos. 22.解： （1） 由题设可得， 弧 AB,BC 所以M 1 的极坐标方程为 2cos0 3 M 2sin， 的极坐标方程为 2 ，M 3 444 的极坐标方程为 2cos 3 . 4 （2）设P(,)，由题设及（1）知 ，则2cos 3，解得 ； 46 32 若 ，则2sin 3，解得 或； 4433 35 若 . ，则2cos 3，解得 46 若0 综上，P的极坐标为3, 2 5 或或或3,3,3, . 6 3 3 6 223解：（1）由于(x1)(y 1)(z 1) (x1)2(y 1)2(z 1)22(x1)(y 1)(y1)(z 1)(z 1)(x1) 222 3(
