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1、一、罗尔中值定理,引理(费马):设y =f (x)在开区间(a, b)内有定义. 在x0(a, b)处取得最大值(最小值), 且 f (x)在x0处可导, 则 f (x0) = 0.,证: 因f (x)在x0处可导.,45 微分中值定理,设f (x0)为f (x)在开区间(a, b)内的最大值, 即, x(a, b), 有 f (x) f (x0).,故当|x|充分小时, 有x0+x (a, b),从而 f (x0+x) f (x0) 0,因x0(a, b),(1)当x 0时,由保号性定理,令x 0+,(2)当x 0时,由保号性定理,令x 0,综合(1),(2)有0 f (x0) 0,故 f
2、(x0) = 0,类似可证f (x)在x0取最小值的情形.,注1. 因f (x0)表示曲线y =f (x)上点M(x0, f (x0)处切线斜率.,而f (x0)=0表示该点处切线斜率为0.,因此, 引理在几何上表示: 若y =f (x)在(a, b)内部某点x0处取最大(小)值, 且在x0可导, 则在M(x0, f (x0)处的切线平行于x轴.,如图,b,M,a,x,0,y,x0,M,x0,y =f (x),注2. 若f (x)在区间a, b的端点a(或b)处取得最大(小)值. 不能保证f (a)(或 f (b)=0.,即, 在端点M(a, f (a)或M(b, f (b)处切线不一定平行于
3、x 轴.,如图.,0,a,b,x,y,y = f (x),定理1. (罗尔中值定理). 若y=f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且f (a) = f (b). 则在(a, b)内至少存在一点 , 使得 f .,证: 因f (x)在a, b上连续, 从而可取得最大值M = f (x0)和最小值m = f (x1). 其中, x0, x1 a, b,(1) 若 m=M ,因m f (x) M. 即, M f (x) M, 所以f (x)=M.,有f x , 故 (a, b)有 f .,(2) 若 mM ,因f (a) = f (b). 故在m, M中必至少有一个不等于f (a)
4、 (= f (b),由引理, f x0, 记 x0 , 即 (a, b)使 f .,不妨设M= f x0 f (a)= f (b),故 x0 a, x0 b, 从而x0 (a, b).,注1. 几何意义: 如图,若连续曲线y = f (x)除端点外处处有不垂直于x轴的切线. 且两端点的纵坐标相等. 则在曲线上至少存在一点M. 在M点的切线平行于x轴.,也就是平行于弦AB.,注2. 从方程的角度看, f 表示是方程 f x的根.因此, 罗尔定理的意义是若f x满足定理条件, 则方程 f x在(a, b)内至少有一个根.,注3. 定理的条件f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, f
5、(a)= f (b) 不能减弱. 否则, 结论不对.,比如, f (x)= |x|在1, 1 上连续. 在除x=0外的每一点x处都可导. 且f (1)=f (1), 但是, 不存在(1, 1), 使得f ()=0.,如图,例1. 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 试判断方程 f x 有几个实根, 分别在何区间?,解: 因为 f (1)= f (2)= f (3),且f (x)在1, 2上连续,在(1,2)内可导, 由罗尔定理, 1(1, 2),使 f(1;,同理, 2, , 使 f (2;,又因f (x是二次方程, 至多两个实根,故f (x有两个实根, 分别位于(1,2) 和
6、(2,3)内.,(1)修改: f (x) = (x1)(x2)(x3)(x4), 结论如何?,(2)修改: 不解方程, 问 (x2)(x3)+(x1)(x3) +(x1)(x2)=0有几个实根, 分别在何区间?,二、拉格朗日中值定理,在罗尔定理中, 曲线上存在一点M, 使得M点处切线平行于x轴. 由于f (a)= f (b). 从而该切线平行于弦AB.如果f (a)f (b), 那么在曲线上是否仍然存在一点M, 使得M点处切线平行于弦AB呢?,定理2. 若y =f (x)在a, b上连续, 在(a, b) 内可导, 则至少存在一点(a, b), 使得,如图:,分析: 注意到,因此, 拉格朗日定
7、理回答了上述问题.,只须证,即,若将括号内函数看作(x). 则只须证()=0即可.,这就是罗尔定理的结论. 因此, 只须证明(x)满足罗尔定理条件即可.,证: 构造函数, 令,易见, (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导.,且,即(a) = (b).,由罗尔定理, (a, b), 使 ,注1. 若f (a)= f (b),这正是罗尔定理的结论.,公式可改写为 f (b) f (a) = f (ba). (a, b),也可写为 f (a) f (b) = f (ab), (a, b),因此, 以后使用这一公式时, 不须考虑是ab, 还是ab.,但 介于a, b之间.,注2. 若y =
8、f (x)在a, b上满足拉格朗日定理条件.,x(a, b), y = f (x +x)f (x) = f x,= f x +x) x,其中| x |充分小, 介于x 和x之间.,0 1. 使得 = x +x,如图,注3. 定理的条件f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导 不能减弱.,推论1. 若 f (x)在(a, b)内的导数恒为0, 即x(a, b). 有f x=0. 则 f (x)在(a, b)内是一个常数. 即x(a, b), f (x) = C(常数).,证: 取定x0(a, b).,只须证明x(a, b), 有 f (x)=f (x0),即可.,因f (x)在(a,
9、b)内可导, 从而在(a, b)内连续.,故 f (x)在x0, x (a, b)(或x, x0 (a, b)上满足拉格朗日定理的条件.,f (x)f (x0) = f (x x0)=0, 介于x 和x0之间.,即, x(a, b), 有f (x)=f (x0),例2.,证: 记 f (x) = arcsinx+arccosx. 在(1, 1)内可导. 且,从而在(1, 1)内, f (x) = C.(常数).,取 x=0, 得,故 当1 x 1时, 有,当x = 1 或 x =1时, 仍然有,从而, 当1 x 1时, 有,例3. 设 f (x) = x2 + x. 在1, 1上验证拉格朗日中
10、值定理的正确性.,解: (1) f (x) = x2 + x在1, 1上连续, 在(1, 1)内可导.,(2)看是否存在(1,1), 使得f (1)f (1)=f () 2,即 2(2 +1) = 20,或 4 = 0. = 0 (1,1).,故 = 0 (1,1), 使得f (1)f (1)=f () 2.,例4. 证明 当x 0时,证: 改写原式,利用公式,证不等式时,往往要把待证式中的一部分写成的形式, 以便构造函数 f (x).,所以, 记 f (t) = ln(1+t), 知f (t)在0, x上满足拉格朗日中值定理的条件.,且,因,故,三、柯西中值定理,定理3. 若f (x), g
11、(x)都在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且 g(x) 0. 则至少存在一点(a, b),使得,分析: 若分别对f (x), g(x)用拉格朗日中值定理, 可得上式左端,但1, 2不一定相同, 故,不能用这一方法.,只须证,即,证:,知(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导.,且,从而(b)(a)=0.,由罗尔中值定理, (a, b),使() = 0,例5. 设 f (x)在(, +)内可导. f (0)=0. 证明 (, +), 使得 2f () f () = 32 f 2(1),证: 这一类问题, 往往可考虑用中值定理解决.,变形.,注意到,左端,从而, 待证式为,故,
12、记F(x) = f 2(x), g(x) = x3在0, 1上连续, 在(0,1)内可导.,由柯西中值定理, (0, 1), 使得,若修改例5为: f (0)=0, f (1)=0, 证明, (, +), 使得f () f () =0.则可用罗尔定理证.,四、泰勒中值定理,在近似计算和理论分析中, 对于复杂函数f (x). 常希望用一个多项式P(x) = a0+a1x+a2x2 + anxn 来近似表示 f (x).,比如, 当|x|很小时, ex 1+x, sin x.,都是用一次函数表示函数 f (x)的例子.,缺陷: (1)精度不高, 误差仅为o(x),(2)没有误差估计式.,从几何上看
13、, 缺陷(1)是由于我们在x=0附近用直线代替曲线, 精度当然不高.,能否改用二次曲线, 三次曲线, , 代替? 精度是否能提高, 或者说, 曲线的吻合程度是否会更好些呢?,y=ex,1,y=1+x,看图.,我们要解决的问题是: 设f (x)在x=x0的某邻域内有直到n+1阶导数.,(1)试求一个关于xx0的n次多项式,Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n,使Pn(x)能在x0的附近近似表示 f (x).,即, f (x)和Pn(x)在x=x0处的函数值以及k阶(kn)导数值都相等.,即, f (x0)=Pn(x0), f (x0)= Pn(x0),
14、f (x0) = Pn(x0), f (n)(x0) = P(n)n(x0).,(2)误差 f (x)Pn(x)的表达式.,首先解决问题(1), 即设f (x)在x=x0的某邻域U(x0)内有直到n+1阶导数.,求Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n. 满足f (x0) = Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (n)(x0)= P(n)n(x0).,将x=x0代入Pn(x), 得Pn(x0)= a0= f (x0) ,对Pn(x)求导, 再将x0代入, 得Pn(x0) = a1 = f (x0),对P
15、n(x)求二次导, 将x0代入, 得Pn(x0)= 2!a2 = f (x0),Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n,同理,一般,得,Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n,得,定理4.(泰勒中值定理) 如果f (x)在含x0的某个区间(a, b)内有直到n+1阶的导数，则对x(a, b)，有,其中,是介于x0与x,之间的一个值.,只须证明,或,证:,由于f (x)和Pn(x)在(a, b)内有直到 n+1 阶导数, 从而 Rn(x) 在 (a, b)内有直到 n+1 阶导数.,注意到,有,1介于x0与x之间.,
16、对函数Rn(x)和(n+1)(xx0)n在x0, 1或1, x0上用柯西中值定理.,有,2介于x0与1 之间.,继续下去, 经n次后,有,其中 =n+1介于x0与n 之间, 从而介于x0与x之间.,注1. 公式,称为 f (x) 按(xx0)的幂, 展开到n阶的泰勒公式.,称为拉格朗日型余项.,也可写成,注2. 当n0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式,注3. 若,且,可是, 误差Rn(x)是(xx0)n的高阶无穷小(当xx0时).,即 Rn(x)=0(xx0)n ). 称为皮亚诺余项.,注4. 若在泰勒中值定理中取x0=0. 则公式为,其中 介于x与0之间, 01.,称为马克劳林公式.,例6. 写出 f (x) = ex展开到n阶的马克劳林公式.,解： f (n)(x) = ex, f (n)(0) =1,故,特别, 取x=1, 有,误差,例7. 求f (x)=sinx 在x0=0的展开式,解
