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1、电磁场与电磁波 参考教材:电磁场与电磁波 孙玉发 郭业才等 编 合肥工业大学出版社,第一章 矢 量 分 析,1.1基本概念,一、标量场与矢量场 如果在空间中一个区域内的每一点都有一物理量的确定值与之对应，在这个区域中就构成该物理量的场。 标量场：如果物理量是一个确定的数值的标量，这种场就叫标量场（scalar field），如温度场、密度场、电位场等。 矢量场：如果物理量是一个既有确定数值又有确定方向的矢量，这种场就叫矢量场（vector field）。如水流中的速度场、地球表面的重力场、 带电体周围的电场等。,分量是矢量 分别在坐标单位矢量方向上的投影，即 （1-3） 式（1-1）可写为 （
2、1-4） 模等于1的矢量叫做单位矢量。 按矢量与数量乘积的定义，有 由式（1-4），在直角坐标系中，有 （1-5）, 直角坐标系中以坐标原点为起点，引向空间任一点的矢量，称为点的矢径，如图1-2。有 （1-6） （1-7） （1-8） 空间点的矢径在三个坐标轴上的投影数值分别等于点 的坐标值。 空间一点对应着一个矢径；反之，与每一矢径对应着空间确定的一个点，即矢径的终点。所以又叫做位置矢量。 如果空间任一矢量的起点是 ，终点是 ，,根据式（1-6）及矢量的加法规 则，矢量 表示为 （1-7） 矢量的模值记为 ，是点 与点 之间的距离，由式 （1-9）得 （1-10） 矢量的单位矢量 （1-11
3、）,式中三个分量的系数也就是矢量的方位余弦。 如果空间有一长度元矢量，它在直角坐标单位矢量上的投影值分别是 ，则 （1-12） （1-13） 2 矢量场的矢量线 一个矢量场，可以用一个矢量函数来表示。 在直角坐标系中，某一矢量物理函数可表示为 （1-14） 用分量表示为 （1-15） 上式中 、 、 分别是矢量 在三个坐标轴上的投影。,为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的概念。矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。 一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是矢量线的例子。 为绘出矢量线，求出矢
4、量线方程。在矢量线上任一点的切向长度元与该点的矢量场的方向平行，即 （1-16） 由式（1-12）， 式（1-15）简写为,式（1-16）可写为 展开上式，并根据零矢量的三个分量均为零的性质，或两矢量平行的基本条件，可得 （1-17） 这就是矢量线的微分方程。 【例1-1】设点电荷位于坐标原点，它在周围空间的任一点所产生的电场强度矢量 求 的矢量方程的通解。,【解】 由式（1-17）化简后得矢量线微分方程 此方程的通解是 （ 为任意常数） 将此解综合，可以写为 ：（ 为任意常数）可以看出，电力线是一簇从点电荷所在点（原点）向空间发散的径向辐射线。这样一簇矢量线形象地描绘出点电荷电场的分布状况。
5、,3 矢量代数运算 假设两个矢量， (1) 矢量的和差 把两个矢量的对应分量相加或相减，就得到它们的和或差，即 （1-18） (2)矢量的标量积和矢量积 矢量的相乘有两种定义，标量积（点乘）和矢量积（叉乘）。 标量积: 是一标量，其大小等于两个矢量模值相乘，再乘以它们夹角（取小角，即）的余弦： （1-19）,是一个矢量的模与另一矢量再该矢量上的投影的乘积。符合交换律： （1-20） （1-21） 矢量积: 是一个矢量，其大小等于两个矢量的模值相乘，再乘以它们夹角的正弦，实际就是与所形成的平行四边行面积，其方向与 、 乘右手螺旋关系，为 、 所在平面的右手法向： （1-22） 它不符合交换律。由
6、定义知 （1-23） 并有 （1-24）,（1-25） 各分量的下标次序具有规律性。（1-25）式可以写成行列式 （1-26） 矢量的三重积：矢量的三连乘也有两种。 标量三重积为 （1-27） 因为，的模值就是 与 所形成的平行四边行面积，因此， 就是该平行四边行与C所构成的平行六面体的体积。矢量三重积为 （1-28） 上式右边为“BACCAB”，称为“BackCab”法则,4 矢量函数的微积分 （一）矢量函数的概念 常矢：模和方向都保持不变的矢量称为常矢。 变矢：模和方向或其中之一会改变的矢量称为变矢。 矢量函数：表示物理量的矢量一般都是一个或几个 （标量）变量的函数，叫矢量函数。例如，静电
7、场中的电场强度矢量，它的三个坐标分量一般也是 的函数，即 （1-29） 如果给定矢量场中任一点的坐标，式（1-29）就给出该点的一个确定的矢量（电场强度）。,（二）矢量函数的导数 矢量对空间坐标的导数 设是单变量的矢量函数，它 对 的导数定义是 （1-30） 这里假定此极限存在（即极限是单值的和有限的）。如图1-4所示，在一般情况下，矢量的增量不一定与矢量的方向相同。如果 是一个常矢量；则 必等于零。一阶导数仍然是一个矢量函数。逐次求导，就可得到 的二阶导数以及更高阶导数。,如果 和 分别是变量的标量函数和矢量函数，则它们之积的导数由式（1-30）可得 当 时，上式右端第三项趋向于零。因此 （
8、1-31） 和 之积的导数在形式上与两个标量函数之积的导数运算法则相同。 如果 是多变量(如)的函数，则对一个变量的偏导数的定义是 （1-32）,由式（1-32）可以证明 （1-33） 对 再次取偏微分又可以得到象 ， 等等这样一些矢量函数。若至少有连续的二阶偏导数，则有 在直角坐标系中，坐标单位矢量和都是常矢量，其导数为零。 利用式（1-50）有,结论：在直角坐标系中，矢量函数对某一坐标变量的偏导数（或导数）仍然是个矢量，它的各个分量等于原矢量函数各分量对该坐标变量的偏导数（或导数）的矢量和。简单地说，只要把坐标单位矢量提到微分号外就可以了。 在柱坐标和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量不是常
9、矢量，在求导数时，不能把坐标单位矢量提到微分符号之外。 在柱坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量地偏导数是 （1-34a） （1-34b）,（1-34c） 结论：在柱坐标系下， 是常矢，它对任何一个坐标变量求导都为零， 都不随 变化而变化，也就是它们对 求导也为零。从单位矢量在空间坐标系中随位置的变化情况能够体会到这一点。 在球坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量地偏导数是 （1-35a） （1-35b）,（1-35c） 在柱、球坐标系中，求矢量函数对坐标变量得偏导数时，必须考虑式（1-34）和（1-35）中的各个关系式。例如，在柱坐标系中，矢量函数可表示为 对 坐标变量的偏导数是 又如在
10、球坐标系中矢量函数可表示为,对 坐标变量的偏导数是 结论: 直角坐标系下的坐标单位矢量 不是空间位置的函数，而柱坐标系、球坐标系下的坐标单位矢量 都随空间位置变化而变化，是空间位置的函数。 矢量函数对时间的导数 有些矢量场既是空间坐标变量的函数，又是时间变量的函数。在各种坐标系中的坐标单位矢量不随时间变化，求偏导数时，可以把它们作为常矢量提到偏微分符号之外。在球坐标系中，,从上述分析看出: 矢量函数对时间和空间坐标变量的导数（或偏导数）仍然是矢量。 5 矢量函数的积分 矢量函数的积分，包括不定积分和定积分两种。例如，已知是的一个原函数，则有不定积分 （1-36） 一般函数积分的基本法则对矢量函
11、数积分也都适用。在柱坐标系和球坐标系中求矢量函数的积分时，仍然要注意式（1-34）和（1-35）中的关系，不能在如何情况下都将坐标单位矢量提到积分运算符号之外。例如，在柱坐标系中的积分,将 代入后再进行积分。因 ， 与坐标变量无关，可以提到积分符号之外。得,1.2 标量函数的梯度,一、标量场的等值面 一个标量场，可用一个标量函数来表示。例如，在直角坐标系中，一物理标量函数可表示为 （1-37） 或用矢径确定点的位置 。下面假定 是坐标变量的连续可微函数。方程 (C为任意常数) （1-38） 随着 的取值不同，给出一组曲面。在每一个曲面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值相等。这样,的曲面称为标量
12、场的等值面。如温度场的等温面，电位场的等位面。式（1-38）为等值面方程。 根据标量场的定义，空间的每一点上只对应一个场函数的确定值。因此，充满整个标量场所在空间的许许多多等值面互不相交。或者说场中的一个点只能在一个等值面上。 如果某一标量物理函数是两个坐标变量的函数，这样的场称为平面标量场。则方程 （为任意常数） （1-39） 为等值线方程，在几何上表示一组等值曲线。场中的等值线也是互不相交的。,【例1-2】 设点电荷位于直角坐标系的原点，在它周围空间的任一点的电位是 式中 和 是常数。试求等电位面方程。 【解】 令 （ C常数）即得到等电位面方程 或 它表示一簇以原点为中心，以 为半径的球
13、面。值（电位值）越小，对应的球面半径越大；与C值等于零对应的是一个半径为无限大的球面。,二、方向导数 在研究标量场时，需要了解标量函数在场中各个点地邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数。 如图1-6所示，设 为标量场中的一点，从 点 出发朝任一方向引一条射线 并在该方向上靠近点取一动 点 ,两点的距离表示为 。根据偏导数定义，可以写出 （1-40）,称为函数在点 沿 方向的方向导数。 ，说明函数 沿 方向是增加的； ，说明函数 沿 方向是减小的； ，说明函数 沿 方向无变化。 因此，方向导数是函数在给定点沿某一方向对距离的变化率。在直角坐标系中， 三个坐标轴方向的方向导数。 在图1-6中 根据多元函数的全增量和全微分的关系，有,上式两端除以 ，并令 取极限得 由方向导数的定义式（1-40）。略去下标 ，即得到直角坐标系中任意点上沿 方向的方向导数的表达式 （1-41） 【例1-3】
