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1、2010高考数学萃取精华30套(18)1. 揭阳一模19(本题满分14分)已知如图,椭圆方程为.P为椭圆上的动点,F1、F2为椭圆的两焦点,当点P不在x轴上时,过F1作F1PF2的外角平分线的垂线F1M,垂足为M,当点P在x轴上时,定义M与P重合(1)求M点的轨迹T的方程;(2)已知、,试探究是否存在这样的点:是轨迹T内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),且OEQ的面积?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由19解:(1)当点P不在x轴上时,延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连结OM,, M是线段的中点,|-2分 = =点P在椭圆上 4,-4分当点P在x轴上时,M与P重合
2、M点的轨迹T的方程为:.-6分(2)连结OE,易知轨迹T上有两个点A,B满足,分别过A、B作直线OE的两条平行线、. 同底等高的两个三角形的面积相等符合条件的点均在直线、上.-7分 直线、的方程分别为:、-8分设点 ( )在轨迹T内,-9分分别解与得 与 -11分为偶数,在上对应的在上,对应的-13分满足条件的点存在,共有6个,它们的坐标分别为:-14分20(本题满分14分)设函数 (1)当时,求函数在上的最大值;(2)记函数,若函数有零点,求的取值范围.20解:(1)当时,当时, -2分当时,函数在上单调递增 -4分由得又当时,当时,.-6分(2)函数有零点即方程有解即有解-7分令当时-9分
3、函数在上是增函数,-10分当时,-12分函数在上是减函数,-13分方程有解时即函数有零点时-14分21(本题满分14分) 已知:()是方程的两根,且,. (1)求的值; (2)设,求证:; (3)求证:对有 w。.w.21解:(1)解方程得,-1分-2分,-3分,-4分(2)由得即-6分当时,于是()-9分(3)当时,结论成立;-10分当时,有-12分 对有-14分2. 徐州一模17. (本小题满分15分)设常数,函数(1)令,求的最小值,并比较的最小值与0的大小;(2)求证:在上是增函数;(3)求证:当时,恒有17. 解:(), , 2分,令,得, 4分列表如下:20极小值在处取得极小值,即
4、的最小值为 6分,又, 8分证明()由()知,的最小值是正数,对一切,恒有, 10分从而当时,恒有, 11分故在上是增函数 12分证明()由()知:在上是增函数, 当时, 13分 又, 14分,即, 15分故当时,恒有 16分18. (本小题满分14分),其中,由中的元素构成两个相应的集合:,其中是有序数对,集合和中的元素个数分别为和若对于任意的,总有,则称集合具有性质(I)对任何具有性质的集合,证明:;(II)判断和的大小关系,并证明你的结论18.解:(I)证明:首先,由中元素构成的有序数对共有个因为,所以;又因为当时,时,所以当时,从而,集合中元素的个数最多为,即(II)解:,证明如下:(
5、1)对于,根据定义,且,从而如果与是的不同元素,那么与中至少有一个不成立,从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,(2)对于,根据定义,且,从而如果与是的不同元素,那么与中至少有一个不成立,从而与中也不至少有一个不成立,故与也是的不同元素可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,由(1)(2)可知,19(本小题满分16分)公民在就业的第一年就交纳养老储备金,以后每年交纳的数目均比上一年增加,历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利如果固定年利率为,那么,在第年末,第一年所交纳的储备金就变为,第二年所交纳的储备金就变为,以表示到第年末所累计的储备金总额求证:,其中是一个等比数列,是一个等差数列19.解: ,对反复使用上述关系式,得 ,在式两端同乘,得,得即如果记,则其中是以为首项,以为公比的等比数列;是以为首项,为公差的等差数列20. (本小题满分16分)数列中,其前项的和为.求证:.20.证明: 假设 1分, 3分是首项为2,公差为1的等差数列. 4分 =, 6分 =. 8分 , 9分. 13分 .16 用心 爱心 专心