《第四章42常系数线性微分方程的解法课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章42常系数线性微分方程的解法课件（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,4.2 常系数线性微分方程的解法,一 复值函数与复值解 二 常系数齐次方程与欧拉方程 三 非齐线性方程与比较系数法 四 质点振动（了解）,一、复值函数与复值解,1、复值函数,复值函数的求导法则与实函数求导法则相同,一、复值函数与复值解,1、复值函数及其性质,3）复值函数的求和、数乘、求导法则与实函数相同,2 、复指数函数,欧拉公式:,性质:,定义：,3、复值解,1) 定义：,2) 定理8,和,的解.,3) 定理9：,若方程,二、常系数齐线性方程和欧拉方程,1、常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法),考虑方程,称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.,要求方程的通解，只需求它的基本解
2、组，以下介绍求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）.,有通解,说明：,一阶常系数齐线性方程,有通解,受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：,把它代入方程(4.19)得,的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根.,1) 特征根是单根的情形,易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：,下面分开讨论特征根的不同情况：,故解组(4.22)线性无关.,（则因方程的系数是实常数,所以复根将成对共轭出现）,则相应方程(4.19)有两个复值解：,由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解. 因此,对方程的一对共轭复根:,可求得(4.19)的两
3、个实 值解为：,例1：,解：,特征方程为,特征根为,基本解组为,故原方程的通解为：,例2：,解：,特征方程为,特征根为,基本解组为,故原方程的通解为：,2) 特征根是重根的情形,从而，对应方程(4.19)变化为：,于是，方程(4.19)化为,其中，方程(4.23)相应特征方程为,直接计算易得:,因此,即就把问题转化为前面讨论过的情形(a).,下面，我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可.（见P140）,对特征方程有复根的情况:,如同单根时那样,我们也可以,3) 求方程(4.19)通解的步骤：,第一步:,第二步:,计算方程(4.19)相
4、应的解,第三步:,例3：,解：,特征方程为,有特征根：,基本解组为：,故通解为：,例4：,解,特征方程为,特征根：,故方程的通解为：,方程的基本解组为：,例5：,解,特征方程为,特征根：,故方程的通解为：,基本解组：,作业,P164: 2、（1）（3）,2、欧拉(Euler)方程,形如,的方程,称为欧拉方程.,欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），瑞士数学家。18世纪 最优秀的数学家数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。他从19岁到76岁的半个多世纪共写下了856篇论文，专著32部，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学
5、占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%。几乎每个数学领域都可看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等。欧拉的兴趣十分广泛，他研究过天文学、物理学、航海学、建筑学、地质学、化学等等。,*欧拉简介：,1) 引进变换：,由归纳法原理可知：,将上述关系式代入(4.19),因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原来的变量就可得到方程(4.29)的通解.,得常系数齐线性方程.即,2) 从上述推演过程,我们知(4.30),因此可直接求欧拉方
6、程的,则(4.31)正好是(4.30)的特征方程,注：,例6：,解,解得特征根为：,故方程的通解为:,例7：,解,解得方程的特征根为：,故方程的通解为:,三、常系数非齐线性方程的解法,(一) 常规方法,1、先求齐次方程的通解；,2、常数变易法；,3、通解+特解。,(二) 比较系数法特解的求法,1、类型I:,则方程有特解形式：,其中,例8,解,（1）齐次方程为：,所以，齐次方程的通解为：,比较系数得,则特征方程为：,（2）求特解,代入原方程得:,因此原方程的通解为:,例9,解,（1）齐次方程为：,则特征方程为：,所以，齐次方程的通解为：,比较系数得,（2）求特解,代入原方程得:,因此原方程的通解为:,2、类型II:,则方程（4.32）有特解形式：,其中,解,（1）对应齐次方程的特征方程为：,故可设特解为：,例10：,解得特征根为,所以，齐次方程的通解为：,（2）求特解,故原方程的通解为：,
