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1、插值法,插值法是一种古老的数学方法，早在一千多年前的隋唐时期定制历法时就广泛应用了二次插值。刘焯将等距节点的二次插值应用于天文计算。 插值理论却是在17世纪微积分产生后才逐步发展起来的，Newton插值公式理论是当时的重要成果。 由于计算机的使用以及航空、造船、精密仪器的加工，插值法在理论和实践上都得到进一步发展，获得了广泛的应用。,第四章 插值与拟合,4.1 引言 4.2 拉格朗日插值 4.3 均差与牛顿插值公式 4.4 差分与等距节点插值 4.5 埃尔米特(Hermite)插值与分段插值 4.6 曲线拟合,4.1 引言 问题的提出 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间
2、a, b上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) 或者给出函数表,y=f(x),y=p(x),插值法的基本原理 设函数 y=f(x) 定义在区间a, b上, 是 a, b上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 ,即 若存在一个f(x)的近似函数 ,满足 则称 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点 xi为插值节点, 称(4.1)式为插值条件, 而误差函数 R(x)= 称为插值余项, 区间a, b称为插值 区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插,(4.1),插值函数 在n+1 个互异插值节点 (i=0,1,n ) 处与 相等,在其它点x就用 的值作为f
3、(x) 的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。 换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用 的值作为f(x)的近似值,不仅希 望 能较好地逼近 f(x),而且还希望它计算简单 。 由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多项式。,满足,则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示,定理1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的,证明: 设n次多项式,是函数 在区间a, b上的n+1个互异的节点 (i=0,1,2,n )上的插值多项式,则求插值多项式P(x) 的问
4、题就归结为求它的系数 (i=0,1,2,n )。,由插值条件: (i=0,1,2,n),可得,这是一个关于待定参数 的n+1阶线性方 程组,其系数矩阵行列式为,为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xixj （当ij），故V0。根据解线性方程组的克莱姆 （Gramer）法则，方程组的解 存在惟一，从而P(x)被惟一确定。,惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(4.1)其结果都是相互恒等的。,4.2 拉格朗日（Lagrange）插值 为了构造满足插值条件 (i=0,1,2,n ) 的便于使用的插值多项式 L(x),先考察几种简单情形, 然后再
5、推广到一般形式。（ 线性插值与抛物插值） （1）线性插值 线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 f(x)在两个互异的点的值， 现要求用线性函数 近似地代替 f(x)。选 择参数a和b, 使 。称这样的线性函数L1(x) 为 f(x) 的线性插值函数 。,线性插值的几何意义:用 通过点 和 的直线近似地代替曲线 y=f(x)由解析几何知道, 这条直线用点斜式表示为,为了便于推广，记,这是一次函 数,且有性质,与 称为线性插值基函数。且有,于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合,例4.1 已知 求,解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值,（2）
6、抛物插值 抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式 使满足二次插值条件： 这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点 的抛物线 近似代替曲线 , 如下图所示。因此也称之为抛物插值。,L2(x)的参数 直接由插值条件决定， 即 满足下面 的代数方程组：,该三元一 次方程组 的系数矩阵,的行列式是范德蒙行列式，当 时， 方程组的解唯一。,为了与下一节的Lagrange插值公式比较,仿线性插值,用基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题： 求二次式 ,使其满足条件：,这个问题容易求解
7、。由上式的后两个条件知: 是 的两个零点。于是,再由另一条件 确定系数,从而导出,类似地可以构造出满足条件： 的插值多项式,及满足条件： 的插值多项式,这样构造出来的 称为抛物插值的基函数,取已知数据 作为线性组合系数,将基函数 线性组合可得,容易看出,P(x)满足条件,4.2.1 拉格朗日插值多项式 两个插值点可求出一次插值多项式,而三个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1个时,也就是通过n+1个不同的已知点 ,来构造一个次数为n的代数多项式Ln(x)。与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式 的插值问题,使其在各节点 上满足,即,由条件 ( )知, 都是n次 的零点,
8、故可设,称之为Lagrange插值基函数.,利用拉格朗日基函数,可以构造多项式,插值多项式为：,线性插值多项式：n=1,几何意义：,抛物插值多项式：n=2,插值多项式为：,几何意义：,例4.2,解：,定理4.1,反证：若不唯一，则除了Pn(x) 外还有另一 n 阶多项式 Ln(x) 满足 Ln(xi) = yi 。,考察 则 Qn 的阶数, n,而 Qn 有 个不同的根,注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。,例如 也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。,例4.3 已知y=f(x)的函数表 求线性插值多项式, 并计算x=1.5 的值,X 1 3 y 1 2,解: 由线性插
9、值多项式公式得,例4.4 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式, 求,(x0 x1)(x0 x2),(xx1)(xx2),y0,+,(x1x0)(x1x2),(xx0)(xx2),y1,+,(x2x0)(x2x1),(xx0)(xx1),y2,L2(7) =,x0=1, x1=4, x2=9,y0=1, y1=2, y2=3,(14)(19),(74)(79),* 1,+,(41)(49),(71)(79),* 2,+,(91)(94),(71)(74),* 3,= 2.7,L2(x) =,解:,例4.5 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式,解:由Lagr
10、ange 插值公式,（给定的三个点在一条直线上）,解 四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为,Lagrange插值多项式为,为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式(4.2)改写成,Lagrange插值法的流程图,x0 x1 xixi+1 xn-1 xn,y=f(x),y=Ln(x),a,b,在插值区间a, b上用插值多项式Ln(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。,若记 R (x) = f(x) - Ln(x) 则 R(x) 就是用 Ln(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称 插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。,
11、4.2.2 插值多项式的误差,定理4.2 设f(x)在a, b有n+1阶导数， x0, x1, xn 为 a, b上n+1个互异的节点, Ln(x)为满足 Ln(xi) = f(xi) (i=1,2, , n) 的n 次插值多项式，那么对于任何x a, b有 插值余项,其中,ab 且依赖于x, 插值余项 /* Remainder */,Rolles Theorem: 若 充分光滑， ，则 存在 使得 。,推广：若,使得,Rn(x) 至少有 个根,n+1,(t)有 n+2 个不同的根 x0 xn x,注意这里是对 t 求导,注： 若记 ，则插值余项为,当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，
12、 , 可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。(若是代数插值,其插值函数就是f(x) ),定义：,当点x位于基本插值区间内时,插值过程称为内插,否则称为外推., 通常不能确定 , 而是估计 , x(a,b) 于是将 作为误差估计上限。,外推比内插效果差。,对于线性插值，其误差为 对于抛物插值（二次插值），其误差为,例4.7 已知 =100, =121, 用线性插值估计 在x=115时的截断误差,解: 由插值余项公式知,因为,例4.8 已知x0=100, x1=121, x2=144,当用抛物插值求 在x=115时的近似值，估计其的截断误差,例4.9 设f(x)=x4, 用余项定理写
13、出节点 -1, 0, 1, 2的三次插值多项式,解: 根据余项定理,例4.10 已知 sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，分别用一、二次Lagrange插值计算 sin0.3367的值，并估计截断误差。,得,由,于是,（2）,得,由,于是,由此可知 稍好于,（3）,因为,则,解：,n = 1,分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算,利用,这里,而,sin 50 = 0.7660444,外推 的实际误差 0.0101,利用,内插 的实际误差 0.00596,内插通常优于外推。选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好
14、。,n = 2,sin 50 = 0.7660444,2次插值的实际误差 0.00061,高次插值通常优于低次插值,但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿,4.3 均差与牛顿插值多项式 拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便。但由于是用基函数构成的插值，这样要增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。这就启发我们去构造一种具有承袭性的插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。这就是牛顿插值多项式。,由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式, 都可以表示成函数,的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0
15、,1,n)的n次插值多项式, 写成如下形式,其中ak (k=0,1,2,n)为待定系数,这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。我们把它记为Nn(x)即,（4.5）,可见，牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式Pn(x)的另一种表示形式, 与Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点, 且可以节省乘除法运算次数, 同时在Newton插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.,它满足 其中ak (k=0,1,2,n)为待定系数，形如（4.5）的 插值多项式称为牛顿(Newton)插值多项式。,1、差商的定义,称,为 关于点 的二阶差商。,4.3.1 差商及其性质,一般，称,为 于点 的 k 阶差商。,2、差商的计算,例4.12 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶差商值 解: 计算得如下表,这个性质可用数学归纳法证明（用Lagrange插值多项式比较最高项系数来得到）,性质1 函数 f(x) 的 n 阶差商 f x0, x1 , , xn 可由 函数值 f (x0),
