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1、第四章 线性系统的能控性和能观性,4.1 线性系统能控性和能观性的概念 4.2 线性离散系统的能控性 4.3线性定常系统的输出能控性 4.4 线性定常连续系统的能观性 4.5 线性定常连续系统的能观性 4.6线性定常离散系统的能观性 4.7G(s)为能控性和能观性的关系 4.8 线性定常系统结构分解 4.9最小实现,教学要求： 1.正确理解定常和离散系统可控性与可观 性的基本概念与判据。 2.熟练掌握能控标准型与能观标准型。 3.掌握对偶原理，规范分解方法。 4.理解传递函数的实现问题， 重点内容： 能控、能观的含义和定义。 定常系统的能控、能观的各种判据。 线性变换的不变性。 实现与最小实现
2、的特点和性质。,研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统. 含义1: 控制作用: 对状态变量的支配 能控性. 系统输出能否反映状态变量 能观性. 含义2: 能控性:能否找到使任意初态 确定终态 能观性:能否由输出量的测量值 各状态,多变系统两个基本问题: 在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态? 在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态? 简单地说:,如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控(状态能控). 如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能观测的.,例1: 给定系统的状态空
3、间描述: 解:展开 表明:状态变量 , 都可通过选择输入u而由始点 终点完全能控. 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测.,例2:取 和 作为状态变量,u输入, y= -输出.,+,-,u,L,(1)当,状态可控，可观测,(2)当,u只能控制， 不可控，不可观测,4.1线性系统能控性和能观性的概念,含义： 能控性：u(t) x(t) 状态方程 能观性：y(t) x(t) 输出方程,定义： 设 若存在一分段连续控制向量u(t)，能在内将系统从任意状态转移到任意终态，则该系统完全能控,说明： 任意初态(状态空间中任一点),零终态 能控 零初态 任意终态,能达,2. 定理1,例： 判断能控性,解
4、： rank =23,不能控,对于： 行数列数的情况下求秩时： rank =rank,定理2：若， 若为对角型，则状态完全能控的充要条件为： 中没有任意一行的元素全为零,例：线性系统的状态方程为 其中： 试判断该系统的能控性,解： 如果rank =2, 则必须要求,定理3：设， 若为约当型，则状态完全能控的充要条件是： 对应的每一个约当块的最后一行相应的阵中所有的行元素不全为零,例：设系统的状态方程为 其中： 试判断系统的能控性,解： 而b1是任意值，且rank =2 则该系统能控,当的特征值 , ，且 则可以经过 将A化为约当型. 如下:,且,由 的最后一行组 成的矩阵：,例：设，已知,行线
5、性无关,不全为零,能控,线性变换后系统的能控性不变 设 令则： 其中：,系统的能控性不变,定理4： 设 如果系统能控，则 则必存在一个非奇异变换 可将状态方程化为能控标准型：,其中：,且：,证明：(由 推得 ),例： 求能控标准型,解： rank Sc=2 能控,则,4.2线性离散系统的能控性,定义：设线性定常离散系统的状态方程: 其中,若存在控制向量序列 能在有限时间内，将系统 第从k步的X(k)转移到至第n步的x(n)=0，则称系统在第k步上是能控的如果每个k系统的所有状态能控，则称系统为完全能控,定理：设 则系统完全能控的充要条件： rankSc=n 其中：,证明：(以单输入为例) 设
6、假设：,这里x(0)是任意的,为满秩矩阵 可求出u(0),u(1), u(n-1),例1： 判断系统的能控性,解：,该系统能控,若已知 求u(0),u(1),u(2),设x(3)=0,解得： 因此，对于任意x(0)，都能求出 u(0),u(1),u(2), 使 x(0) x(3)=0,例2： 判断能控性 能否存在 对任意x(0) x(1)=0？,解：,rank Sc=3 因此该系统能控 所以一定可使任意x(0) x(3)=0,但不能对任意x(0) x(1)=0,4.4 线性定常系统的输出能控性,在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控.设:
7、定义:在 上,任意 解出u(t),输出能控 ,定理： 系统输出完全能控的充要条件：,例： 判断系统是否输出能控 解：rankCB CABD=rank1 -2 0=1=q 输出能控 rankSc=rankb Ab=12 状态不能控,4.5 线性定常连续系统的能观性,在实际工程实践中,往往需要知道状态变 量,而由于各种原因,不一定都能直接获取, 但输入变量总是可以获取和测量的. 能观性能否通过对输出的测量来确定 系统的状态变量,设线性定常连续系统状态空间表式： 定义：对任意给定u(t)，在内输出y(t)可唯一确定系统的初态x(),则系统是完全能观的 y x( ) 能观 y x( ) 能检,确定,确
8、定,定理1： 系统状态完全能观的充要条件：,证明： 设,这里：是一个单位阵 要使y(t) x(0),确定,定理2: 若A为对角型，则系统完全能控能观的充要条件是： 输出阵C中没有任何一列的元素全为零,例：系统状态方程为,系统能控能观则要求 即rank =2,定理3： 若A为约当型，则系统完全能观的充要条件是： C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零,如： 能观,例：设系统的状态方程为： 判断系统的能观性 解：,能观,约当型判据： 设A有 ( 重根)， ( 重根)， ( 重根) ，,且 要使系统完全能观，则由 的第一列组成的矩阵： 对 均列线性无关。,定理4: 设 如果系
9、统能观，但不是能观标准型，则存在 ，将原系统化为能观标准型：,(单输入单输出系统),其中,其中：,线性变换后系统能观性不变 设 令,4.6 线性定常离散系统的能观性,设 定义：已知u(k)，如果能由 确定x(k)，则第k步是能观的。如果每个k步都能观，则系统完全能观。,y(k) y(k+1) y(k+n-1),已知u(k),x(k)=,定理：系统状态完全能观的充要条件： 其中：,证明：令u(k)=0 k=0 y(0)=Cx(0) k=1 y(1)=Cx(1)=CAx(0) k=n-1 y(n-1)=,当 时，x(0)有解。,例： 解：,4.7 对偶原理,由第二章： 对偶原理：,其中: 与 互为
10、对偶.,4.7 G(s)为能控性和能观性的关系,设 单输入 定理:系统能控能观的充要条件是G(s)中没 有零极点对消,设A的特征值: , 则系统可化为:,当 当,不能控,不能观,系统能控能观,验证能控性: 设 不能控,则 一定存在零极点对消.,验证能观性: 设 不能观,则 一定存在零极点对消.,例: 解: 能控型:,不能观,能观型:,不能控,不能控不能观:,不能控不能观,4.8 线性定常系统结构分解,x,-能控能观 -能控不能观 -不能控能观 -不能控不能观,系统的能控性分解 设 其中 ,系统不能控. 引入 变换, 中r个线性无关列向量. 任意n-r个列向量. 存在,则,-能控状态子向量,-不
11、能控状态子向量,r,n-r,r,n-r,则有: 能控子系统: 不能控子系统:,y,u,例1： 进行能控性分解 解： 所以不能控,选取 通过 则,能控子系统： 不能控子系统：,系统的能观性分解 设 其中所以不能观 引入变换： 中 个线性无关的行向量 任意 个行向量存在 则,-能观子状态,-不能观子状态,则 能观子系统： 不能观子系统：,u,例： 进行能观性分解 解：,选取 经过,能观子系统： 不能观子系统：,系统的标准分解： 假设系统：不能控也不能观 ,能控性分解,能控子系统能观性 分解,不能控子系统，能观性分解,能控能观: 能控 不能观: 不能控 能观 不能控 不能观,u,y,例3: 进行能控
12、能观性分解. 解:,系统不能控不能观.,(A,b,c)能控性分解( , , ),取 则：,能控子系统：,不能控子系统：,显然,能控系统能观性分解： 取,标准分解:,4.9最小实现,定义：G(s)的一个最小实现： 如果G(s)不存在其它实现 使的维数小于x的维数，则称(,)是(s)的一个最小实现,定理：(s)的一个实现(,)既能控又能观严格的真有理分式(s)的实现 说明：G(s)只能反映系统中能控的动态行为，所以把不能控或不能观的状态消去，不会影响系统的G(s)，或如果有不能控或不能观的状态分量存在将使系统成为不是最小实现,确定G(s)最小实现的步骤： 给定G(s)，选一种实现(A,B,C)能控型(或能观型)检查其实现的能观性(或能控性)，若为能控又能观，则(A,B,C)是最小实现，否则进行下一步 对上述标准型(A,B,C)进行结构分解，找出其完全能控又能观的子系统 G(s)的一个最小实现,
