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1、第 11 章 能量法（一）,1 外力功与应变能2 互等定理3 余能与卡氏第二定理4 变形体虚功原理5 单位载荷法,讲授内容,上讲回顾,余功与余能Complementary Work and Complementary Energy,弹性体的余能Vc数 值上等于余功：,余功的定义:, 上讲回顾,单向应力状态下的余能密度为,故拉压杆与梁的余能为,余能计算,材料力学（II）第1版， 单辉祖编著，高教社, 克罗第恩格塞定理,弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 Dk 克罗第恩格塞定理,卡氏定理,线性弹性体的应变能，对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 D k 卡氏第二定理,
2、对于线性弹性体：,卡氏定理,1）适用于线弹性体； 2）附加载荷法； 3）引入新变量，区分相关载荷； 4）求相对位移； 5）正确理解载荷相应位移的概念。,应用卡氏定理的几个问题：,4 变形体虚功原理, 变形体虚功原理 变形体虚功原理的证明, 变形体虚功原理,几个概念,1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的内力，称为静力可能内力或可能内力,1、可能内力与外力（静力许可场）,2）杆的可能内力用FN, T, FS与M表示,）可能内力与外力,结构的静力许可场,1）满足变形连续条件与位移边界条件的任意结构位移，称为几何可能位移，相应之变形称为可能变形,2、 可能位移与可能变形（运动许可场）,3）杆微段的变
3、形用dd , df 与dq 表示,2）杆件的位移：,几个概念, 变形体虚功原理,可能内力满足：,可能位移与变形满足：,（平衡条件）,（静力边界条件）,（变形连续条件）,（位移边界条件）,例如,可能内力, 变形体虚功原理,可能内力, 变形体虚功原理,平衡方程有无数内力解答；任一组内力解答均为可能内力,可能变形, 变形体虚功原理,满足变形协调条件的任一组变形均为可能变形,假想的、微小的可能位移，称为结构的虚位移，相应之变形称为虚变形,杆微段的虚变形用dd *、df *与dq *表示,3、 虚位移与虚变形,4、 虚功（以梁为例）,结构的外力与内力,任取结构的虚位移与虚变形,几个概念,如何表示？ 二者
4、的关系？,如温度变形,5、内力虚功与外力虚功, 作用在所有微段上的可能内力在虚变形上作之总虚功内力虚功, 外力在可能位移上所作之总虚功外力虚功,变形体虚功原理,可以证明：外力在虚位移上所作外力虚功 We，等于可能内力在虚变形上所作内力虚功 Wi，即 We Wi 称为变形体虚功原理（虚位移原理）,Principle of Virtual Work, 变形体虚功原理的例证,可能内力满足：,虚位移满足：,（平衡条件）,（静力边界条件）,（变形连续条件）,（位移边界条件）, 外力虚功, 内力虚功, 比较,证毕！, 变形体虚功原理的例证讨论,讨论：,1）简支梁：,位移边界条件与静力边界条件, 变形体虚功
5、原理的例证讨论,2）悬臂梁：,位移边界条件与静力边界条件, 关于变形体虚功原理,满足变形协调条件、位移边界条件,5 单位载荷法, 单位载荷法的基本公式 单位载荷法的常用公式 例题, 单位载荷法的基本公式,结构的载荷状态,构造单位(载荷)状态,D线位移，加单位力 D角位移，加单位力偶 D相对线位移，加一对相等相反单位力 D相对角位移，加一对相等相反单位力偶, 关于位移与单位载荷, 关于位移方向,当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向,D 广义位移，施加相应单位广义载荷,实际变形 由载荷状态下的实际内力 确定,线弹性拉压杆与桁架：,处于平面弯曲的线弹性梁与刚架：,基本变形情况,线弹性轴：, 单位载荷法的常用公式, 单位载荷法的常用公式,组合变形情况,对于线弹性杆或杆系，微段变形与内力关系：, 例题,解：1. 构造单位载荷状态,2. 求支反力，建立弯矩方程,例 5-1,AB段：,BC段：,3. 位移计算,例 5-2 求qA=? 应如何分段，坐标系如何选取？,解： 1. 构造单位载荷状态,2. 分段建立弯矩方程,解：,影响小曲率梁变形的主要内力弯矩,( ),由虚功原理可得,AB段：,BC段：,例 5-4,解：,( ),例 5-5 杆1： ; 杆2：s=Ee 。求DBy,解：,1. 内力分析,2. 位移计算,
