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1、第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,本次课讲授第三章第48节，方差，协方差、相关系数与大数定理； 下次课讲授第四章第1-4节：正态分布的密度与期望方差。 下次上课前完成作业9，上课时交作业P37-40页 重点：方差与协方差 难点：方差协方差与独立相关系数之间的关系,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,回顾：,例题,解,第九讲 均值、矩与方差,背景：在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无法反映的。例如，某小公司有10个员工，它们的年薪分别是（万元）25,18,36,28,16,20,29,3
2、2,41,150.其均值是39万5千元。于是老板宣布我们公司的平均年薪39万5千元。这引起多数员工的不满。为什么？因为数据中有150万元是老板自己的年薪，其它9人中有6人偏离均值很远。本例说明，均值只代表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念中，二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此将它作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,离差的平方的数学期望叫做随机变量X 的方差,记作,说明：1.D(X)非负，且D(X)即是二阶中心距,2.实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一致，但为了运算方便，理论推导和研究通常用方差。,第十讲 方差
3、、相关系数与切比雪夫不等式,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,用均值计算方差定理:,证明：,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,解,例题10-1-3,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,证明,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,定理3,利用定理3，用归纳法可以证明以下推论,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加,证,X 的标准化的随机变量。,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,则n次试验中事件 A 发生的次数为：,且X1, X2,Xn相互独立，,则,例10-1-5. 二项分布均值与方差,其中：,第十讲 方差、相关系数与切比雪
4、夫不等式,解：由已知概率：,由于X1, X2,Xn相互独立，则,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,而,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,而,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,常用分布的期望与方差列表,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,解,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,例10-1-9（2008，4分）,例10-1-10（1995，4分）,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,例10-1-11（2010，4分）,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,例10-1-12（2004，4分
5、）,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,离散型随机变量 ：,连续型随机变量：,证,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,证,(3)方差性质定理： 设X与Y是任意两个随机变量,则：,4. 相关系数,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,（1）定义：X与 Y 的相关系数:,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,（2）相关系数的计算:,证,并且,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,于是,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,即,(5)不相关概念,由定义容易得到不相关的几个等价结论,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,10-2-1 将一枚硬币
6、重复掷n次，X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于,解,选(A).,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,例题10-2-2（2000，3分）,三、切比雪夫定理,1.背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级1000名学生线性代数课程成绩的均值为85分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？,2.切比雪夫定理（不等式）：,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,例题10-3-1(2001，数一）,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,证,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,3.依概率收敛定义,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,证,设随机变量 Xi 表示事件A 在第 i 次试验中发生的次数(i=1,2, ,n, ),则这些随机变量相互独立，服从相同的0-1分布，,且有数学期望与方差：,由切比雪夫定理的推论即得,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,而,显然，,注 小概率事件在大量试验中几乎必然发生。,第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式,
