第2章简单体系2讲解材料

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1、2020/7/19,第2章 简单体系的Schrdinger方程,2.1 微分方程及其求解 2.2 方盒中的粒子 2.3 线性谐振子 2.4 氢原子和类氢离子 2.5 原子轨道,2020/7/19,2.1 微分方程及其求解,2.1 微分方程 微分方程分为常微分方程和偏微分方程。常微分方程的一般形式可写成： 其中f表示某种函数关系. 实例： 微分方程的阶是出现的最高导数的阶。 常微分方程的一般形式： 式中A是x的各种函数。不能表示成上述形式的微分方程是非线性的。当g（x）= 0时，称为齐次的。,n阶,4阶,2020/7/19,2.1 微分方程及其求解,通常遇到的是下列二阶线性微分方程： 其中P(x

2、),Q(x)和g(x)都是给定的x的函数. 对于二阶线性齐次微分方程: 若有两个独立解y1和y2,则此方程的通解是:,式中c1和c2为两个任意常数。,2020/7/19,2.1 微分方程及其求解,通常一个n阶微分方程通解就有n个任意常数,它们的确定需要运用边界条件(y有固定值的点).,常系数二阶线性齐次微分方程 当方程y”+py+qy=0中的p,q是常数时,则称之为.用尝试解 y=exp(mx) 代入其中,得: m2 exp(mx) +pm exp(mx) +q exp(mx) =0 即: m2+pm+q=0, 称为特征方程（也称辅助方程）. 通解为: y=c1exp(m1x) +c2exp(

3、m2x) 进一步,有:,2020/7/19,2.1 微分方程及其求解,常系数二阶线性齐次常 微分方程的级数求解 若方程的一般形式为:,将y展开成x的幂级数,并进行微分,即有:,2020/7/19,2.1 微分方程及其求解,代人原方程,令合适的x的系数为零,以满足该方程,得:,称为循环公式,其中的c为常数,k的多少由方程的具体形式决定.起始的几个系数确定后即可使用此循环公式.,例 试求y”-y=0的幂级数解. 解 在此方程中,R(x)=1,P(x)=0,Q(x)=-1 ,2020/7/19,2.1 微分方程及其求解,使x的系数等于零,就有:,若取a0= a1 =1, 则上述方程的解为:,显然,此

4、结果满足上述微分方程.,2020/7/19,2.2 方盒的粒子,1 一维无限势阱 （1）势能表示 V(x)=0, 0 xl V(x)=, x0 或 x l (2)体系的Schrdinger方程 (x)=0 x0 或 x l,2020/7/19,2.2 方盒的粒子,(3)方程的解: 一般解:=Asinkx+Bcoskx 其中,根据边界条件: (0)= (l) =0, 可得:,(0)=Asin(0)+Bcos(0)=0+B=0,B=0,及 (l)=Asin(kl)=0,sin(kl)=0,得能量:,2020/7/19,2.2 方盒的粒子,由归一化条件 进一步可得:,回代后有：,讨论 体系的波函数与

5、能级,n=1，基态,n=2，第一激发 态,n=3，第二激发 态,2020/7/19,2.2 方盒的粒子,(4) 波函数的应用: 粒子的坐标:,粒子的动量,2020/7/19,2.2 方盒的粒子,粒子的动量的平方：因,2020/7/19,2.2 方盒的粒子,(5) 小结 量子力学处理微观体系的一般步骤：,a.写出体系的Schrdinger方程的H：由动能与势能两部分组成。 b.简单体系的Schrdinger方程为二阶线性微分方程，可先求通解。 c.根据边界条件定出通解中的待定系数，并确定能量本征值。 d.能量回代通解，由归一化得到状态波函数。 e.根据波函数和能量讨论体系的有关性质。,2020/

6、7/19,2.2 方盒的粒子,2 多烯烃的自由电子模型 2n个碳原子含2n个电子的共轭直链多烯烃,应用上述模型处理，得可能的状态函数：,2020/7/19,2.2 方盒的粒子,3 三维长方势阱 （1）势能函数,2020/7/19,2.2 方盒的粒子,（2）Schrodinger方程,（3）求解 采用分离变量法，令=X(x)Y(y)Z(z),2020/7/19,2.2 方盒的粒子,相应的分能量:,各个分解:,2020/7/19,2.2 方盒的粒子,总波函数与总能量:,若a=b=c,则变为三维立方势阱,此时:,对于(nx,ny,nz)=(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)三个状态的能量完

7、全相同, 称为简并态, 简并度为3.,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,何谓谐振子,在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F =-kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：,其解为 x =Asin( t + )。这种运动称为简谐振动， 作这种运动的粒子叫谐振子。,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。,若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则,为什么研究线性谐振子,自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动

8、以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：,可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,1. 一维线性谐振子的势能,

9、2. 体系的Schrdinger方程,作变量替换,变换后的Schrdinger方程(变系数二阶常微分方程):,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,3. 求解过程,微分后代入原方程得关于H()的微分方程:,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,级数解,令：,用 k 代替 k,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(-1) = 0 从而导出系数 bk 的递推公式：,该式对任意都成立， 故同次幂前的系数均应为零，,2020/7/19,由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。

10、因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：,2.3 一维线性谐振子,b0 0, b1=0. Heven(); b1 0, b0=0. Hodd().,只含偶次幂项,只含奇次幂项,则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven e) exp-2/2,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,进一步应用波函数的标准条件确定其解. 由于 时,有限,要求幂级数取有限项.条件为:,4. 有关结果:,谐振子能级: 零 点能:,=2n+1, n =0,1,2,3,一维谐振子能级图,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,(2).H

11、ermite多项式,递推公式：,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,前3个波函数:,与能级En对应的波函数为:,归一化常数Nn:,2020/7/19,(3) 波函数,然而，量子情况与此不同.对于基态，其几率密度是： 0() = |0()|2 = N02 exp-2 分析上式可知：一方面表明在= 0处找到粒子的几率最大； 另一方面，在|1处，即在阱外找到粒子的几率不为零，与经典情况完全不同。,以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|x| 1,范围中运动。这是因为振子在这一点(|x| = 1)处，其势能V(x)=(1/ 2)2 x2 = 1/2 = E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子

12、被限制在阱内。,2020/7/19,2.3 一维线性谐振子,分析波函数可知量子力学的谐振子波函数n有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 -a, a 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。,(4). 几率分布,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,1 球坐标系 （1）变量变换关系,（2）球坐标系的Laplace算符,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,2 粒子在中心力场中的运动 粒子的势能V与r的方向无关，即：V=V(r),(1) 定态Schrdinger方程,=(r,) 变量区间 :0r, 0,02,20

13、20/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,（2）方程求解 1）变量分离,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,变量分离 令(r,)=R(r)Y(,),代入原方程并做适当的变换,可得:,方程两边都有其独立变量,等式要成立,两边都等于一个常数,设此常数为,则分离出两个方程:,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,依据的归一化条件:,可要求:,Y方程不受V(r )的影响,其结果可直接用于原子.,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,进一步令：Y(,)=()()代入Y方程,可得:,又可分离出下列两个方程:,式中为常数.,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,2) 方程的

14、解: 该方程的一般解为:,按波函数单值性要求,有：()= (+2),对于第一式,要求 为正整数. 对于第2式, 有=C,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,统一表示上述结果,令=m2,并作归一化处理,得：,实数解,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,3) 方程的求解 对于方程,令=cos,结合 =m2, 作如下变换:,原方程化为:,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,上式称为连带Legendre方程,其解为连带Legendre函数:,有解条件: =l(l+1),l=0,1,2,; l |m| 的归一化因子 为:,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,角度函

15、数Y的表示式为:,称为球谐函数,其中l为角量子数, m为磁量子数.,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,4).R方程的解,令R(r)=u(r)/r, 经变换可得:,有了V(r)的具体形式即可求出u(r)与R(r)及确定定态的E. 自由态: E0;对于任意E, 在0r内R (r)有有限解;R (r) r0. 束缚态: E0;对于分立E, 在0r内R (r)有有限解;R (r) r0.,2020/7/19,下面列出了前几个径向波函数 R n l 表达式：,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,3. 氢原子和类氢离子 V(r)=-Ze2/r Z为原子核电荷. 束缚态径向方程为:,令

16、 ,方程化为:,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,其渐近解为: u() =exp(/2) 结合波函数平方可积条件,取u() =f()exp(-/2) 处理后得下列方程:,设,求解过程要求:级数应为有限项(vmax=nr); = nr +l+1=n (n =1,2,3,),2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,能量: n =1,2,3,径向函数解:,其中, a0是Bohr半径, 为连带Laguerre函数,Nnl为归一化常数:,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,Ln+l()叫Laguerre函数. 对于氢原子和类氢离子,有:,2020/7/19,2.4 氢原子与类氢离子,三个量子数（解Schrdinger方程得到） n确定能级.对应一个n,l的取值为: 主量子数： n =1,2,3,; 角量子数：