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1、第七章 应力和应变分析 强度理论,7-1 应力状态的概念 7-3 二向应力状态分析-解析法 7-4 二向应力状态分析-图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-11 四种常用强度理论,第七章 应力和应变分析、强度理论,一、概述 1、应力状态 受力构件中某点处不同截面上的应力状况。,斜截面上的应力,7-1 应力状态的概念,圆轴扭转破坏分析,滑移与剪断发生?作用面,断裂发生在?作用面,7-1 应力状态的概念,7-1 应力状态的概念,7-1 应力状态的概念,微体A,7-1 应力状态的概念,2、为什么要研究一点处的应力状态？ （1）求单元体在某截面上的最大应力 （2）分析不同材料的破坏原
2、因 （3）构建强度理论,7-1 应力状态的概念,注意： 1、拉伸、压缩中有剪切，扭转中有剪切，也有拉伸; 2、不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力; 3、同一面上不同点的应力各不相同; 4、同一点不同方向截面上的应力也不相同,哪一点？哪个方向面？,哪一个面上？哪一点？,7-1 应力状态的概念,二、应力状态的研究方法 单元体 围绕所要研究的点截取一微小正六面体。 单元体在某截面上的应力就代表了构件在该截面上的应力。,空间,平面,7-1 应力状态的概念,单元体特征： 1、单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布。 2、任意一对平行平面上的应力相等。,7-1 应力状态的概念,C,D,D,O,C,
3、弯扭组合变形,7-1 应力状态的概念,7-1 应力状态的概念,例1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.,7-1 应力状态的概念,S平面,7-1 应力状态的概念,例 2 画出如图所示梁 危险截面危险点的应状态 单元体,7-1 应力状态的概念,y,x,z,7-1 应力状态的概念,三、应力状态分类 主平面 剪应力（切应力）等于零的平面。 主应力 主平面上的正应力。 拉伸、压缩时横截面就是主平面。 扭转时，450截面是主平面。 可以证明，主平面上的主应力是最大正应力。 规定：,7-1 应力状态的概念,说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂 直的主应力分别
4、记为 1 ,2 , 3 且规定按代数 值大小的顺序来排列, 即,7-1 应力状态的概念,1、单向应力状态 三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零,7-1 应力状态的概念,2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零,7-1 应力状态的概念,3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零,7-1 应力状态的概念,仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面平面应力状态,平面应力状态的一般形式,微体各侧面均作用有应力空间应力状态,空间应力状态一般形式,7-1 应力状态的概念,例 3 对于图示各单元体，试分别写出三个主应力.,7-1 应
5、力状态的概念,二向应力状态，平面应力状态，是工程中最常见的应力状态。 为了对构件进行强度计算，必须了解危险点的应力状态，求出主应力的大小和主平面的方位，以此作为对构件计算的依据。 研究方法有两种，解析法和几何法。,7-3 平面应力状态分析解析法,一、任意斜截面上的应力公式,斜截面的面积为dA,7-3 平面应力状态分析解析法,一、任意斜截面上的应力公式,7-3 平面应力状态分析解析法,一、任意斜截面上的应力公式,7-3 平面应力状态分析解析法,一、任意斜截面上的应力公式,7-3 平面应力状态分析解析法,一、任意斜截面上的应力公式,符号规定： ：拉应力为正，压应力为负。 ：顺时针转为正，逆时针转为
6、负。 ：以x轴为始边，逆时针转为正。,7-3 平面应力状态分析解析法,上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。,7-3 平面应力状态分析解析法,二、 正应力极值,7-3 平面应力状态分析解析法,设0 时，上式值为零，即,即0 时，切应力为零,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。,所以，最大和最小正应力分别为：,主应力按代数值排序：1 2 3,7-3 平面应力状态分析解析法,在切应力相对的方向上， 且偏向于x 及y大的一侧,在切应力相对的方向上， 且偏向于x 及y大的一侧,7-3
7、平面应力状态分析解析法,二、切应力极值,或,7-3 平面应力状态分析解析法,例4 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.,(1) 求 ef 截面上的应力,7-3 平面应力状态分析解析法,(2) 求主应力和主单元体的方位,x = -40MPa y =60 MPa xy = -50MPa =-30,因为 x y ，所以 0= -22.5 与 min 对应,7-3 平面应力状态分析解析法,7-3 平面应力状态分析解析法,解 （1）求主平面方位,因为 x = y ，且 xy 0,例5 求平面纯剪切应力状态的主
8、应力及主平面方位.,xy,所以0= -45与 max 对应,（2）求主应力,1 = ， 2 = 0 ， 3 = - ,7-3 平面应力状态分析解析法,例6 简支梁如图所示.已知 mm 截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 =-70MPa， =50MPa .确定A点的主应力及主平面的方位.,解：,把从A点处截取的单元体放大如图,7-3 平面应力状态分析解析法,因为 x y ，所以 0= 27.5 与 min 对应,7-3 平面应力状态分析解析法,一、原理,两式相加，,7-4 平面应力状态分析图解法,应力圆,圆心位于s 轴,以横坐标表示，纵坐标表示，则方程的轨迹是一个圆，应力圆，莫尔圆。,应力圆上
9、任意一点的横坐标和纵坐标，分别代表单元体上相应截面上的正应力和切应力。 德国学者莫尔 otto Mohr ,1882年提出。,7-4 平面应力状态分析图解法,(1) 建 - 坐标系 ,选定比例尺,二、应力圆作法,1、步骤,7-4 平面应力状态分析图解法,o,(2) 量取,OA= x,AD = xy,得 D 点,OB= y,(3) 量取,BD= yx,得 D 点,(4) 连接 DD两点的直线与 轴相交于 C 点,(5)以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆,7-4 平面应力状态分析图解法,(1)该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为,(2)该圆半径为,证明,7-4 平
10、面应力状态分析图解法,7-4 平面应力状态分析图解法,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的 正应力和切应力,3、几种对应关系,7-4 平面应力状态分析图解法,应力圆上任意两点的半径夹角，等于单元体上对应两截面外法线夹角的两倍。单元体以为参数，应力圆以2为参数，转向一致。 单元体上的两个主平面必相互垂直。 最大剪应力所在平面与主平面之间的夹角必为450。,7-4 平面应力状态分析图解法,4、求主应力大小和主平面位置,(1)主应力数值,A1 和 B1 两点为与主平面 对应的点，其横坐标 为主应力 1 ，2,7-4 平面应力状态分析图解法,（2）主平面方位,由 CD顺时针转 20 到
11、CA1,所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1 对应的主平面的外法线,0 确定后， 1 对应的主平面方位即确定,7-4 平面应力状态分析图解法,5、求最大切应力,G1 和 G 2两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力,因为最大最小切应力 等于应力圆的半径,7-4 平面应力状态分析图解法,7-4 平面应力状态分析图解法,7-4 平面应力状态分析图解法,例7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x = - 1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa ,(1)绘出相应的应力圆,(2)确定此单元体在 =30和 = - 40两斜面
12、上的应力。,解: (1) 画应力圆,量取OA= x= - 1 , AD = XY= - 0.2，定出 D点;,OB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2， 定出 D点 .,以 DD 为直径绘出的圆即为应力圆。,将 半径 CD 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就 代表 = 30斜截面上的应力。,(2) 确定 = 30斜截面上的应力,(3) 确定 = - 40斜截面上的应力,将 半径 CD顺时针转 2 = 80到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40 斜截面上的应力。,7-4 平面应力状态分析图解法,纯剪切状态的最大应力,主平面微体位于 方位,7-4 平面应
13、力状态分析图解法,圆轴扭转破坏分析,滑移与剪断发生在tmax的作用面,断裂发生在smax 作用面,7-4 平面应力状态分析图解法,解：1. 解析法,例 8 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位,7-4 平面应力状态分析图解法,2. 图解法,主应力的大小与方位 ？,7-4 平面应力状态分析图解法,定义,三个主应力都不为零的应力状态,7-5 三向应力状态,由三向应力圆可以看出：,结论： 代表单元体任意斜 截面上应力的点， 必定在三个应力圆 圆周上或圆内。,7-5 三向应力状态,1. 基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7-8 广义胡克定律,2、三向应力状态
14、的广义胡克定律叠加法,=,+,+,7-8 广义胡克定律,7-8 广义胡克定律,3、广义胡克定律的一般形式,7-8 广义胡克定律,（拉压）,（弯曲）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,杆件基本变形下的强度条件,7-11 四种常用强度理论,7-11 四种常用强度理论,强度理论： 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,7-11 四种常用强度理论,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1) 脆性断
15、裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论,(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,7-11 四种常用强度理论,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。,7-11 四种常用强
16、度理论,断裂条件,强度条件,最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁拉伸,铸铁扭转,7-11 四种常用强度理论,2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,7-11 四种常用强度理论,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆 性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论 更接近实际情况。,强度条件,最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,断裂条件,即,7-11 四种常用强度理论,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,7-11 四种常用强度理论,屈服条
