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1、第8章 应力应变状态分析,1 问题的提出,低碳钢和铸铁的拉伸实验,低碳钢的拉伸实验,铸铁的拉伸实验,问题：为什么低碳钢拉伸时会出现 45 滑移线？,8-1 概 述,低碳钢和铸铁的扭转实验,低碳钢的扭转实验,铸铁的扭转实验,问题：为什么铸铁扭转时会沿 45 螺旋面断开？,所以，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研 究斜截面上的应力。,2 应力的三个重要概念,应力的点的概念,应力的面的概念,同一物体内不同点的应力各不相同，此即 应力的点的概念。,应力的面的概念,过同一点的不同方向的截面上的应力各不相同， 此即应力的面的概念。 所以，讲到应力，应指明是哪一点在哪一方向面 上的应力。,应力状态的概念,
2、过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这 一点的应力状态。,3 一点应力状态的描述,单元体,单元体的边长 dx, dy, dz 均为无穷小量；,单元体的特点,单元体的边长 dx, dy, dz 均为无穷小量；,单元体的特点,单元体的每一个面上，应力均匀分布； 单元体中相互平行的两个面上，应力相同。,目的：通过应力状态分析求出该点处的max、max及其作用面，从而更好地进行强度分析。,单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。,单元体如何取？,在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和dz
3、，如下图所示。,8-2 平面应力状态分析,对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。,该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化为左图所示情形。,1、斜截面上的应力分析,已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：,可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为，称为截面。,应力的正负和斜截面夹角的正负规定：,1）正应力拉为正，压为负； 2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负； 3）对角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。
4、,取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。,由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线t方向可得：,其中dA为斜截面ef的面积。,由此可得，任一斜截面上的应力分量为：,解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：,例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kNm。求C点 =30截面上的应力。,图示斜截面上应力分量为：,8-3 应力圆,由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：,两式两边平方后求和可得：,而圆方程为：,可见前式实际上表示了在为横轴、为纵轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：,半径为：,单元体斜截面上应力
5、（，）和应力圆上点的坐标（，）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（，）。,因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。,2）应力园的画法,已知x、y、x、y，如右图，假定xy。,在、 坐标系内按比例尺确定两点：,以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 力圆。,连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。,从D1点按斜截面角的转向转动2得到E点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。,2）证明,对下图所示应力圆可见C点的横坐标为：,由于,可得：,因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且,该线段长度等于应力圆半径。从而证明
6、上述圆确为应力圆。,则：,另外，E点横坐标为：,可见，E点坐标值即为斜截面上的应力分量值。,即：,同理可得E点的纵坐标为：,材料力学,应力圆与它的单元体之间的对应关系:,1）点面对应关系：圆上任一点的纵、横坐标值对应着单元体上某截面上切、正应力值；,2）夹角对应关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。,材料力学,应力圆的应用:,1）确定单元体上任一斜截面上的正应力、 剪应力；,2）确定两个主应力的大小和方位；,3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；,由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标值来求任意斜截
7、面上的应力分量，此即称为图解法。,解：按一定比例画出应力圆。,例：用图解法求图示 =30斜截面上的应力值。,因为图示应力状态有：,按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：,则x、y截面在应力圆上两点为：,d,a,c,单向应力状态的应力圆,B,E,纯切应力状态的应力圆,8-4 平面应力状态的极值应力和主应力,对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。,主平面：剪应力 =0的平面；,主应力：主平面上的正应力。,可证明：,并规定：,可见：,思考:平面应力状态有几个主应力？,具体值可在应力圆上量取，即：,主平面位置：图a中1主平面的方位角0对应于应力 圆（图b）上的圆心角20。,主
8、应力值和主应力平面的计算：,由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：,由此可得两个主应力值为：,因为1主平面方位角的两倍对应于应力圆上20，而,所以，1主平面方位角0为：,二、最大切应力,max,min,材料力学,例1.,已知如下单元体的应力状态，求图示斜截面上的应力和max、min、max、min及主平面和最大切应力所在平面的方位。,解：,1）取坐标轴,2）已知条件命名,3）计算 30， 30,材料力学,4）计算max、min及主平面方位角,材料力学,材料力学,5）计算max、min及其所在平面的方位角。,材料力学,例2.,解：,1）求主应力、主平面并画出主应力单元体；,2）求最大剪应力及其作用面；,1）取坐标轴,2）已知条件,3）主平面方位角,材料力学,4）主应力,5）最大剪应力,例 求图a所示应力状态的主应力及方向。,解：1、应力圆图解法：,因为：,所以：,按一定比例作出应力圆（图b）。,由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：,由此可得：,主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：,2、解析法 ：,所以：,
