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1、第七章 稳定球面腔,1 方形镜对称共焦腔,一、积分方程的简化形式,1、变量未分离,证,2、变量分离,mn=mn umn(x,y)=um(x)un(y),二、近似解析解,1、本征函数,镜面上的基模光斑半径,H0(x)=1 H1(x)=2x H2(x)=4x2-2 厄米多项式,2、本征值,三、自再现模特征,1、场振幅分布,(1)基模光斑半径 振幅降至最大值的1/e处半径,(2)模参数 m、n分别为沿x、y轴的节线数,2、场相位分布,镜面为等相位面(u为实函数),3、单程衍射损耗(精确解),(3) 损耗率小于平行平面腔(球面反射镜有聚焦作用),(4) -F曲线比平行平面腔陡(模式鉴别能力强),(1)
2、同一横模,菲涅耳数F越大,损耗率越小,(2)菲涅耳数F相同时,模的阶次越高,损耗率越大,4、谐振频率,(1)计算公式,证,(2)频间,(3)频率简并现象,2q+m+n相等的模式,谐振频率相等,如0,0,q、2,0,q-1、0,2,q-1、1,1,q-1等,(4)频谱,四、行波场,1、解析表达式,2、物理意义,(1)衰减因子,反映场振幅随行波场传播而衰减的规律,焦参数f,共焦腔反射镜焦距 f=L/2=R/2,腰斑半径,镜面光斑半径与腰斑半径关系,证,或镜面坐标z=f,(腰处z=0),光斑半径w(z),(2)横向分布因子,反映场振幅的横向分布规律,(3)相位因子,反映场相位的分布规律,传播因子 -
3、kz,相位弯曲因子,等相位面曲率半径,证,令(x,0,z)=(0,0,z0),等相位面为抛物面,近似为球面,焦距为R/2,曲率半径为R,等相位面方程,a)符号 凸向+z为+(z坐标为正,则R(z)为正),b)z=0或 ,则 ,等相位面为平面,c)z= f,即镜面处R最小,且等于镜面本身曲率半径,证,附加相移因子,谐振腔单程附加相移,证,z=-fz=f,例1,求方形镜对称共焦腔镜面上TEM20模的节线位置(用基模镜面光斑半径w0s表示),解,令,例2,方形镜对称共焦腔焦参数f=0.4m,光波长为= 0.314m,求镜面处光斑半径与等相位面曲率半径,解,2 圆形镜对称共焦腔,一、积分方程的简化形式
4、,1、变量未分离,2、变量分离方法,umn(r,)=Rmn(r)e-im,证,二、近似解析解,1、本征函数,缔和拉盖尔多项式,2、本征值,三、自再现模特征,1、场振幅分布,(2)模参数,2、场相位分布,镜面为等相位面(u为实函数),3、单程衍射损耗(精确解) 规律同方形镜,但略大于方形镜,(1)基模光斑半径 振幅降至最大值的1/e处半径,m、n分别为沿角向、径向的节线、节圆数,4、谐振频率,(1)计算公式,(2)频间,(3)频率简并现象,2q+m+2n相等的模式,谐振频率相等,如0,0,q、2,0,q-1、0,1,q-1等,(4)频谱,四、行波场解析表达式,1、衰减因子,2、横向分布因子,3、
5、相位因子,3 一般稳定球面腔,一、稳定球面腔与共焦腔的关系,1、以共焦腔任意两个等相位面为反射镜组成的谐振腔是稳定腔,证,已知焦参数f,任意取两坐标z1、z2,则两镜面曲率半径及腔长分别为,左镜为凹面镜时，镜面曲率半径R10，等相位面曲率半径R1(z)0,左镜为凸面镜时，镜面曲率半径R10,右镜为凹面镜时，镜面曲率半径R20，等相位面曲率半径R2(z)0,右镜为凸面镜时，镜面曲率半径R20，等相位面曲率半径R2(z)0,2、任意一个稳定腔都存在一个等价共焦腔,证,已知稳定腔两镜面曲率半径R1、 R2及腔长L,可解出等价共焦腔的焦参数及两镜面的坐标,只要R1、R2、L满足稳定条件,则 f20,例
6、,讨论,(1)平凹腔,证,或,(2)对称双凹腔,证,或,(1)平凹腔,(2)对称双凹腔,二、基模特征,1、镜面光斑半径,证,证,2、模体积,对称双凹腔,讨论,3、远场发散角,证,平凹腔,例1,双凹腔两反射镜面曲率半径分别为R1=58 cm、R2=50cm,腔长L=60cm,求等价共焦腔的焦参数，并在图中标出其大约的位置,解,将z2=z1+60代入,可求出,z1=-50cm,z2=60-50=10cm,f2=50z2-z22=5010-102=400,f=20cm,例2,对称双凹腔两镜面曲率半径R1=R2= 1.4L L为腔长, 求镜面光斑半径是腰斑半径的倍数,解,例3,平凹腔中凹面镜曲率半径R=1m, 腔长L= 0.8m, 光波长为 =0.314m, 求两镜面光斑半径、发散角、模体积,解,例4,由曲率半径大小分别为R1=2.5m、R2=2m 凹、凸两个球面反射镜彼此相距L=1m 组成谐振腔,求(1)腰斑半径与腰位置(2)两镜面光斑半径(3)模体积(4)远场发散角 (光波长为=3.14m),解,(1),腰位置在R2镜右侧,距离R2镜1m,(3),(4),(2),
