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1、费马点 在数学解题中的应用,德化三中 陈为烧,学习情境,法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小。人们称这个点为“费马点”。这是一个历史名题。 近几年中考数学出现过不少这类问题。,你听说过费马点吗?,本节课我们将了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用,费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点,费马点定义,如图,P为ABC所在平面上的一点,若P到ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC,当点P哪点时,距离之和最小。,如何找点P使它到ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?,找费马点方法,若三角形3个内
2、角均小于120,那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对三角形三边的张角相等,均为120。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。,费马点证明,将BPC绕点B旋转60到BPC 的位置,连接PP,则BPP为正三角形. PA+PB+PC=PA+PP+PCAC. 当A、P、P、C在同一直线上, 即APB=180- BPP=120 BPC= BPC =120时, PA+PB+PC=AC为最小值,证明:,证明:,2.若三角形有一个角大于120,则费马点为三角形钝角的顶点。,1.若三角形3个内角均小于120,那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角.,结论,三角形最大角小于1200,费马
3、点如何画?,距离之和的最小值如何求?,等腰RtABC,边AB=4,P为ABC内部一点,则AP+BP+CP的最小值是 。,例1:,等腰直角三角形类型,知识运用,已知正方形ABCD内一动点E到A、B、 C三点的距离之和的最小值为 ,求此正方形的边长,练习:,已知三村庄A、B、C构成了如图所示的ABC(其中A、B、C均小于120),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.,例2:,若点P 为ABC所在平面上一点,且APB=BPC=CPA=120, 则点P叫做ABC的费马点 (1) 如图1,若P为锐角ABC的费马点,且ABC=60,PA=3,P
4、C=4, 则PB的值 ; (2)如图2,在锐角ABC的外侧作等边ACB,连结BB求证:BB过ABC的费马点P,且BB=PA+PB+PC,例3:,1.如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接EN、AM、CM. 求证:AMBENB; 当M点在何处时,AMCM的值最小; 当M点在何处时,AMBMCM的值最小,并说明理由; 当AMBMCM的最小值为 时,求正方形的边长.,作业:,2.小华遇到这样一个问题,如图1, ABC中,ACB=30,BC=6,AC=5,在ABC内部有一点P,连接PA、PB、PC,求PA+PB+
5、PC的最小值,小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是,如图2,将APC绕点C顺时针旋转60,得到EDC,连接PD、BE,则BE的长即为所求 (1)请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ; (2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题: 如图3,菱形ABCD中,ABC=60,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);若中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长,感谢指导!,