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1、费马点 在数学解题中的应用,德化三中 陈为烧,学习情境,法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。人们称这个点为“费马点”。这是一个历史名题。 近几年中考数学出现过不少这类问题。,你听说过费马点吗?,本节课我们将了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用,费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点,费马点定义,如图,P为ABC所在平面上的一点，若P到ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC,当点P哪点时,距离之和最小。,如何找点P使它到ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？,找费马点方法,若三角形3个内
2、角均小于120，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。,费马点证明,将BPC绕点B旋转60到BPC 的位置,连接PP,则BPP为正三角形. PA+PB+PC=PA+PP+PCAC. 当A、P、P、C在同一直线上, 即APB=180- BPP=120 BPC= BPC =120时, PA+PB+PC=AC为最小值,证明：,证明：,2.若三角形有一个角大于120，则费马点为三角形钝角的顶点。,1.若三角形3个内角均小于120，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角.,结论,三角形最大角小于1200,费马
3、点如何画？,距离之和的最小值如何求？,等腰RtABC，边AB=4，P为ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 。,例1：,等腰直角三角形类型,知识运用,已知正方形ABCD内一动点E到A、B、 C三点的距离之和的最小值为 ，求此正方形的边长,练习：,已知三村庄A、B、C构成了如图所示的ABC（其中A、B、C均小于120），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.,例2：,若点P 为ABC所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120, 则点P叫做ABC的费马点 （1） 如图1，若P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，P
4、C=4, 则PB的值 ； （2）如图2，在锐角ABC的外侧作等边ACB，连结BB求证：BB过ABC的费马点P，且BB=PA+PB+PC,例3：,1.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小； 当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为 时，求正方形的边长.,作业：,2.小华遇到这样一个问题，如图1, ABC中，ACB=30，BC=6，AC=5，在ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+
5、PC的最小值,小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将APC绕点C顺时针旋转60，得到EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求 （1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为 ； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，菱形ABCD中，ABC=60，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；若中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长,感谢指导！,
