《第4章 代数系统》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章 代数系统（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第二篇 代数系统,1.代数系统的基本概念介绍 2.两类重要的代数系统介绍: (1)群论介绍包括群、半群与单元半群等。 (2)环论与格论介绍包括环、格及布尔代数,2,第4章 代数系统概论,4.1代数系统介绍 代数系统由集合、运算及运算封闭性三部分组成。 1.集合:集合是代数系统的基础,它给出了代数系统的研究对象。 2.运算:运算给出了代数系统的研究手段与工具。因此运算是代数系统的灵魂。 定义4.1运算:n元函数f:S1S 2SnS中有S= S1=S 2=Sn 则称f为S上的n元运算,或简称n元运算。当n=2时称二元运算；n=1时称一元运算。,3,定义 设S为集合，函数f：SSS 称为S上的二
2、元运算，简 称为二元运算 S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭,例 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是 (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是 (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不是,4,(4) 设Mn(R)表示所有n 阶(n2)实矩阵的集合，即 则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. (5) S为任意集合，则、 为P(S)上二元运算.,5,例 (1) 求相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上 的一元运算 (2) 求
3、倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上一元 运算 (3) 求共轭复数是复数集合C上的一元运算 (4) 在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算是P(S) 上的一元运算. (5) 在n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是 Mn(R)上的一元运算.,6,二元与一元运算的表示,1算符 可以用, , , , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 xy = z 对一元运算, x的运算结果记作x.,2表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表 公式表示 例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算： x, yR, x y = x.
4、 那么 34 = 3， 0.5(3) = 0.5,7,运算表：表示有穷集上的一元和二元运算,运算表,二元运算的运算表 一元运算的运算表,8,例3 设 S=P(a,b)，S上的和 运算的运算表如下,运算表的实例,9,第4章 代数系统概论,例:在代数系统中可以任意定义运算。如在集合S=1,2,3上可以定义一个二元运算如下:,10,第4章 代数系统概论,例:运算可看作是一个具有输入端与输出端的“黑盒子”,图4.1(a)表示为一元运算而图4.1(b)则表示为二元运算。一元运算中对应的是一个输入端与一个输出端。 二元运算中则对应两个 输入端与一个输出端。,11,第4章 代数系统概论,定义4.2代数系统:
5、非空集合S上的K个运算1, 2,k(一元或二元运算)所构成的封闭系统称为代数系统。可记为:(S, 1, 2 ,k)。 例: 整数集Z上带有加法运算的系统构成一个代数系统:(Z,+)。 例: 实数集R上带有“+”与“”运算的系统构成一个代数系统:(R,+,)。,12,第4章 代数系统概论,例:集合B=0,1上的两个二元运算:“”与“” 构成一个代数系统。,13,第4章 代数系统概论,例: 由有限个字母所组成的集合X,它叫字母表。在X上构作任意长的字母串,它叫X上的句子或字或串,串的字母个数M叫串的长度。长度为0的串叫空串可用表示。可以构造在X上的所有串的集合X*。 定义在X*上的串的二元运算“”
6、称串的并置运算,它是一个将两个串并置成一个串的运算。设,X*,则是一个串。X*上的并置运算是封闭的。X*上的并置运算“”构成了一个代数系统(X*, )。 令XX*一,则(X,)也是代数系统。,14,第4章 代数系统概论,定义4.3 代数系统类型:代数系统中的运算符个数及运算元数称代数系统模型。两代数系统如运算符个数及相应运算元数相同则称两系统有相同类型；否则称不同类型。 定义4.4子代数:两个代数系统(S,)与(S,)若满足下列条件: (1)SS; (2)若aS,bS,则abab 则称(S,)是(S, )的子代数或子系统。,15,第4章 代数系统概论,4.2代数运算中的常见性质 1.单个二元运
7、算的结合律: (S,)中如有aS,bS,cS,均有: a (bc)(ab) c 则称该代数系统的运算“”满足结合律。 2.单个二元运算的交换律 (S,)中如有aS,bS,均有: abba 则称该代数系统的运算“”满足交换律。,16,第4章 代数系统概论,3.两个二元运算的分配律 (S,)中如有aS,bS,cS均有: a(bc)(ab) (ac)第一分配律 a (bc)(ab) (ac)第一分配律 (bc)a(ba) (ca)第二分配律 (bc)a(ba) (ca)第二分配律,17,第4章 代数系统概论,4.二元运算中的单位元素 (S,)中若有元素1S,对任一个xS均有 1xx1x,则称此元素为
8、对于运算“”的单位元素或称单位元。 例: 代数系统(R,)中单位元为1。 例: 代数系统(Z,+)中单位元为0。 例: 代数系统(X*,)中空串为单位元。 定理4.1(S,)存在对“”的1l 与lr则它们必相等: l l1r1 定理4.2(S,)中对运算“”若存在单位元则必唯一。,18,第4章 代数系统概论,5.二元运算中零元素 (S,)中若有元素S,对任一个xS均有 0 xx00则称此元素为对于运算“”的零元素或称零元。 同样有: 0 l0r0 还有: 代数系统中若存在零元则必唯一。,19,第4章 代数系统概论,6.二元运算中的逆元素 存在单位元的(S,)中如对aS有a-1S,使得: aa1
9、a1 a1 则称a1为a对运算“”的逆元素或称逆元。 代数系统如果其运算“”满足结合律则有: a l1ar1a1 还有: (S,)满足结合律,则对aS如存在逆元素a1 必唯一。,20,第4章 代数系统概论,例: 代数系统中(Z,+)对运算“+”满足结合律且存在单位元0,对aZ的逆元为-a,即3的逆元为-3,17的逆元为-17。因为我们有: a+(-a)0。 例: 代数系统(R,)中对运算“”满足结合律且存在单位元1,对aR的逆元为1/a,即3的逆元为1/3,17的逆元为1/17。因为我们有: a1/a1,21,1设运算为Q上的二元运算， x, yQ, xy = x+y+2xy, (1) 判断运
10、算是否满足交换律和结合律，并说明理由. (2) 求出运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.,(1) 运算可交换，可结合. 任取 x, yQ, xy = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 任取 x, y, zQ, (xy)z = (x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x(yz) = x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz,22,(2) 设运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于任 意 x 有 xe = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于运算可
11、交换，所以 0 是幺元. 对于任意 x 有x = 成立，即 x+2x = x+2x = 0 = 1/2 给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 xy = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 (x 1/2 ) 因此当x 1/2时， 是x的逆元.,23,2下面是三个运算表 (1) 说明那些运算是可交换的. (2) 求出每个运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元,24,解,(1) * 满足交换律. 不满足交换律. 满足交换律. (2) * 的单位元为b，没有零元， a1=c, b1=b,c1=a 的单位元和零元都不存在，没有可逆元素. 的单位元为 a，零元为c，a1=a，b, c不是可逆元素.,2
12、5,第4章 代数系统概论,4.3代数系统的同态与同构 定义4.4:同态:两个同类型代数系统(X,)与(Y,)若存在一个映射g:XY,使得对任意x1, x2X必有: g(x1x2)g(x1)* g(x2) 则称g是从(X,)到(Y,)的同态映射,或叫 (X,)与(Y,)同态。当X=Y时则称为自同态。,26,第4章 代数系统概论,定义4.5:满同态:两个代数系统(X,)与(Y,),若存在满射g:XY 使得对任意x1, x2X必有: g(x1x2)g(x1)* g(x2) 则称g是从(X,)到(Y,)的满同态映射,或称(X,)与(Y,)满同态。 若g为单射,则称g是从(X,)到(Y,)的单同态映 射
13、, 或称(X,)与(Y,)单同态。 若g为双射,则称g是从(X,)到(Y,)的同构映射, 或称(X,)与(Y,)同构。,27,第4章 代数系统概论,28,第4章 代数系统概论,29,例题,设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统， 判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由. 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构. (1) f(x) = |x| +1 (2) f(x) = |x| (3) f(x) = 0 (4) f(x) = 2,30,解答,解 (1) 不是同态, 因为 f(22)=f(4)=5, f(2)f(2)=33=9 (2) 是同态，不是单同态，也不是满同态，因为
14、f(1)= f(1), 且ran f 中没有负数. (3) 不是G 的自同态，因为 f 不是 G 到 G 的函数 (4) 不是G 的自同态，因为 f(22)=2, f(2)f(2)=22=4 说明：判别或证明同态映射的方法 (1) 先判断（或证明）f 是G1 到 G2的映射 f: G1G2. 如果已 知 f: G1G2，则这步判断可以省去. (2) x, y G1, 验证 f(xy) = f(x) f(y) (3) 判断同态性质只需判断函数的单射、满射、双射性即可.,31,练习,设V1=, V2=，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+ 和 分别表示普通加法与乘法令 f : RR*，f (x
15、)= ex 则 f 是V1到V2的单同态. 若令g: R* R，g(x)= ex,则g是V2到V1的 _?,32,第4章 代数系统概论,对三种同态作详细的分析: 1.同构 定理4.3:代数系统A与B同构则系统中的六个性质(结合律、交换律、分配律及单位元、零元、逆元的存在)能双向保持。 2.满同态 定理4.4:代数系统A与B满同态则系统中的六个性质(结合律、交换律、分配律及单位元、零元、逆元的存在)能单向保持。,33,第4章 代数系统概论,3.单同态 定理4.5:代数系统A与B单同态,则A所具有的性质(结合律、交换律、分配律及单位元、零元及逆元的存在)对B的一个子系统B均能保持。 4.4代数系统
16、的分类 1.按类型: 按代数系统的运算个数及运算元数分类,以一个二元运算与两个二元运算两种类型为常见。 2.按性质: 按代数系统中的六个性质分类.,34,第4章 代数系统概论,目前常用的抽象代数系统共有三大类: 1.群论 由一个二元运算所构成的代数系统为其特征: (S,) 在群论中按其性质共分为两大类五种: 第一类:半群:满足结合律的群,它还可分为: (1)单元半群:具单位元的半群。 (2)可换半群:满足交换律的半群。 第二类:群:具单位元与逆元的半群。它还可分为: (3)可换群:满足交换律的群。,35,第4章 代数系统概论,2.环论 由两个二元运算所构成的代数系统所组成: (S,*,) 且满足下面三个性质的代数系统称环。 *是可换群； 是
