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1、2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 海军航空工程学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数模组 日期： 2010 年 8月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：免费自行车交通系统服务网点布局规划摘要:本文通过建立综合评价准则，对现有网点和自行车布局进行了排序与评价，并依据此准则
3、对网点和自行车的分布进行了合理的优化。首先，综合分析影响网点和自行车布局的相关因素，概括起来分为人口流量、人口密度、人均自行车占有率以及网点相互距离四个因素。针对问题一，将这四个因素作为评价的指标，并对四个指标进行规范化处理，化为无量纲数，然后根据各指标的重要程度，赋给相应的权值，各指标加权后求和得到最终的综合评价指标，计算求得现有网点和自行车分布最佳的是14号网点。针对问题二，在问题一评价准则的基础上，我们采用逐步筛选的方法。首先对题中所给的区域进行了分块处理，将整块区域分成240块的小方格区域，对于每个方格内在任意位置设立自行车网点都是等效的，并且每一个方格内最多可以设立一个自行车网点。除
4、去现有的17个网点数，这样问题就等效为余下的223个小方格区域中再筛选出83个方格作为自行车的新增网点。第一步筛选根据网点设置所需的客观条件，去掉不能设立自行车网点的方格，第二步对剩余方格区域作进一步筛选，建立了以总的评价准则为目标函数的非线性规划模型，求得新增83个网点的合理分布。对于问题三，由于需要考虑到网点建设成本和资金的限制，本文分析了约束条件的变化情况，对约束条件进行了修改，采用非线性规划模型进行求解。求解时，首先根据资金约束条件，计算出所有可能的网点数和自行车总数，并把这些量当作已知量来处理，网点数最大为220个。为了进一步简化问题，对求得网点数作出筛选，去掉过小和过大的，只考虑在
5、个范围内的情况，这样计算量能够有效减少。关键字：权重；综合评价；分块处理；非线性规划1 问题的提出随着经济的不断发展，城市居民人均拥有的汽车辆也越来越多，从而导致了交通、环境等问题，为了解决这种问题，市政部门通过建立公共自行车（免费单车）交通系统。这种便民利民实事工程以本着“随租随用，用后速还，信用保证，限时免费，连租连免，通租通还，损坏赔偿，便民安全”的原则，维护租用双方合法权益，确保城市市公共自行车（免费单车）交通系统的正常运营，方便市民及中外游客出行。某城区现有人口15 万，地域面积约22.9平方公里(长4.68公里，高4.89公里)，含两座小山和一个湖泊。已知该城区规划中的地铁站有5个
6、，预计高峰时间人流量在4000-5000人/站，其余时间10002000人/站。大型社区有两个，社区C有1.4万人，社区C有2.8万人，其余地区，除山地、湖泊和河流区域外，可以认为人口是均衡分布的。大型超市有三个，预计高峰时间人流量在3000人/座，其余时间1000人/座。为了最大可能方便居民使用，应优先考虑交通枢纽和地点人流量，根据现实中调查可以推断：早晨在社区周边的网点车辆数较多，下午下班时在地铁站和超市附近网点的车辆数较多。十字路口的人流量一般较大。网点之间的距离一般控制在300米1000米之间。目前该地区现有17个网点，600辆免费自行车，统计车辆数如附表1所示。我们需要解决以下问题1
7、. 设定一个评价标准来衡量现有网点与车辆分布状况。2. 在规划中要在图中增加到100个网点和3600辆车，如何决定网点位置跟每个网点的车辆数，才能使在你的评价指标下达到最优。3. 但目前市政资金有限，只能拿出110万元左右，已知建设一个网点需5000元，投入一辆自行车的成本约300元，现希望尽可能实现主要居民区网点平均间距500米的公共交通体系，并最大程度服务居民，则需要在此地区建立多少个，如何分布网点并确定每个网点的车辆数。2 模型假设（1）研究区域封闭，即假设不会有其他区域的自行车流入，本区域自行车也不会流出；（2）公共自行车不会有被偷、损坏等意外情况发生；（4）每个使用自行车的人使用自行
8、车的几率是一样的；（5）除了超市、交通枢纽人口集中的地区，其他地区的人口流量相同。3 符号说明为叙述方便，约定符号如下：第个网点周围的人口密度；：第个网点周围的人口流量；：第个网点的人均自行车占有率；：第个网点的逼近度；：第个网点的第项指标；：第个网点的综合评价标准；：第项指标的权重；：第个网点到其余网点距离的最小值；：第个网点到第个网点的距离，其中；：第个网点的自行车数量；：第个网点周围的人口数量；：第个方格区域分配的自行车数量；：0-1整型变量。4 问题的分析自行车服务网点的确定主要依据其所产生的社会效益，即要尽可能的满足人们的使用需求，因此自行车网点的设置需要对影响自行车需求的因素进行分
9、析，概括起来可分为四个方面，即人口流量、人口密度、自行车的人均占有率以及网点的相互距离。对现有网点和自行车布局进行评价，可以以这四个因素作为评价指标。对于问题一，通过对题目的分析我们知道解决这些问题的核心是要建立一个免费自行车交通系统服务网点的综合评价模型。目前国内外综合评价方法有数十种之多，包括模糊数学方法、系统工程方法、技术经济方法等等。这些评价方法各有其特点，但大体上可分为两类，其主要区别在确定权重的方法上。本题采用的方法是主观赋权，采取综合咨询评分确定权重，然后将数据规范化处理得到无量纲的数据再进行综合评价。对于本题，在评价之前必须要解决两个问题，一是量化评价标准，找出影响网点布局的主
10、要因素然后进行量化等其他处理；二是权重的确定，根据调查结果对不同的评价标准给出相应的权重，这个过程主观成分比较大，但会在后面的结果中进行修正。对于问题二，需要把已有的网点增加到100个同时需要增加3600辆车，为了不盲目寻找多增加的83个点，通过转换思路，我们先在图上确定有限个可能成为网点的点，然后通过筛选得到需要的网点。通过将地图按照一定的规则划分，得到有限个可能建立网点的小区域，然后对该区域的评价标准进行综合评价从而最终找出需要的网点位置。对于问题三，由于市政资金存在限制，对于自行车网点的选择就需要在满足位置适当的基础上还要考虑资金状况。因此，在问题二建立的模型的基础上，通过增加资金这一约
11、束条件解决网点的选择问题。5 模型的建立与求解5.1 问题一的求解要评价现有网点与自行车车辆分布状况，由题目给出的已知条件知，需要从网点的选址状况和自行车数量分配的合理性两方面进行分析。网点的选址好坏取决于网点的方便程度，因此网点的布局主要依据网点周围人口分布情况，包括人口密度和人口流量。此外考虑到人们借车、还车方便以及效益的最大化，各网点之间的距离应保持在适当的范围。为了制定合理的评价准则，需要综合分析以上各因素，即人口密度、人口流量、网点相互距离以及网点的自行车数量。5.1.1 人口密度的分布题中所给的区域，人口分布不均，不仅地形比较复杂，存在高山、湖泊以及河流，人口密度受地形因素的影响较
12、大，而且社区的类别对人口密度也产生影响。对于大型社区而言，人口相对集中，人口密度大。为了计算方便，不考虑人口在高山、湖泊以及河流区域的分布，其他地区除大型社区外人口分布是均匀的。大型社区和的人口密度其中分别表示该大型社区和的人口数量，分别表示大型社区和的面积。其他地区（除山地、湖泊和河流区域外）的人口密度。其中为该区域内的总人口，为该区域的总面积。运用软件图像处理命令对面积进行计算，求得所给区域的两个大型社区和，面积分别为和，面积合计为，两座高山和所有水域的总面积为。该区域的总面积为，大型社区和人口数分别为1.4万和2.8万。则大型社区和的人口密度和（单位为万人每平方公里）分别为其他地区（除山
13、地、湖泊和河流区域外）的人口密度为设表示第个网点附近的人口密度，的值与网点所处的位置有关，当网点位于大型社区时，该网点处的人口密度即为该社区的人口密度，当网点位于除山地、湖泊的其余地区，人口密度为一定值。人口密度在该区域内总的分布情况为5.1.2 网点的相互距离网点之间的相互距离也是评价网点布局好坏的一个很重要的标准。出于最大限度服务人们的目的，建设网点时应依据有限时间内免费租赁，随处借还的原则。在题目的要求中，网点之间的相互距离大约为，这就能保证在较短的时间内免费使用自行车骑行到附近的另外的相邻网点，而网点之间的距离越小，居民就可以更加方便的选择目的网点，使得目的网点尽可能靠近目的地而避免了
14、多走冤枉路的情况。根据以上分析，网点之间的最佳距离应控制在之间，在该范围的前提下，网点相互距离越小对于人们来说越方便。定义任意两网点和之间的距离为，以表示网点到其余网点距离的最小值，考虑到其他评价指标的影响效果是越大越好，为了与其他因素保持一致，我们定义最小距离的倒数表征网点与到他网点的逼近程度，作为评价的一个指标。由于超出的范围，网点的布局即认为不够合理，对于相互距离存在小于300米和大于1000米的网点，通过给最小距离取一个较大值，使得为一个较小的常值，计算时取。通过计算，可以得到网点之间的相互距离如下表1。表1 网点到其余网点的逼近情况网点逼近量网点逼近量10.001000100.00192220.001000110.00378630.001000120.00142040.002777130.00189350.002777140.00130260.001329150.001893
