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1、 1 2013 年北京市中考数学试题及参考答案 数学试卷数学试卷 满分 120 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个 是符合题意的。 1. 在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）中，北京市提 出了总计约 3 960 亿元的投资计划。将 3 960 用科学计数法表示应为 A. 39.6102 B. 3.96103 C. 3.96104 D. 3.96104 2. 4 3 的倒数是 A. 3 4 B. 4 3 C. 4 3 D. 3 4 3. 在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它
2、们分别标号为 1，2，3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号大于 2 的概率为 A. 5 1 B. 5 2 C. 5 3 D. 5 4 4. 如图，直线a，b被直线c所截，ab，1=2，若3=40，则4 等于 A. 40 B. 50 C. 70 D. 80 5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸 取点 B，C，D，使得 ABBC，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上。若测得 BE=20m，EC=10m，CD=20m， 则河的宽度 AB 等于 A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 6. 下列图形中，是中心对称图形但不
3、是轴对称图形的是 2 7. 某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时） 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 A. 6.2 小时 B. 6.4 小时 C. 6.5 小时 D. 7 小时 8. 如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设 弦 AP 的长为x， APO 的面积为y， 则下列图象中， 能表示y与x 的函数关系的图象大致是 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 分解因式：aabab44 2 +=_ 10. 请写出一个开口向上，并且与
4、 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_10 11. 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点， 若 AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为_ 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：1=xt，双 曲线 x y 1 =。在l上取点 A1，过点 A1作x轴的垂线交双曲线于 点 B1，过点 B1作y轴的垂线交l于点 A2，请继续操作并探究： 过点 A2作x轴的垂线交双曲线于点 B2，过点 B2作y轴的垂线 交l于点 A3， ， 这样依次得到l上的点 A1， A2， A3， ， An， 。 记点 An的横坐标为 n a，若2 1 =a，则 2
5、 a=_， 2013 a=_；若要将上 述操作无限次地进行下去，则 1 a不能取 的值是_ 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13. 如图， 已知 D 是 AC 上一点， AB=DA， DEAB， B=DAE。 求证：BC=AE。 3 14. 计算： 10 ) 4 1 (45cos22)31 ( +。 15. 解不等式组： + x x xx 2 3 1 23 16. 已知014 2 = xx，求代数式 22 )()32(yyxyxx+的值。 17. 列方程或方程组解应用题： 某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化， 由于施工时增加了 2 名工 人，结果比计划提
6、前 3 小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿 化面积。 18已知关于x的一元二次方程0422 2 =+kxx有两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19如图，在ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E， 使 CE= 2 1 BC，连结 DE，CF。 （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）若 AB=4，AD=6，B=60，求 DE 的长。 20如图，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A，C，PC 交 AB 的延长线于点 D
7、，DEPO 交 PO 的延 长线于点 E。 （1）求证：EPD=EDO （2）若 PC=6，tanPDA= 4 3 ，求 OE 的长。 4 21第九届中国国际园林博览会（园博会）已于 2013 年 5 月 18 日在北京开幕，以下是根据 近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分： （1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为 0.04 平方千米， 牡丹园面积为_平方千米； （2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍，水面面积是第七、八两 届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据； （3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），
8、发现园博会园区周边设置的停车位 数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系， 根据小 娜的发现， 请估计将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量 （直 接写出结果，精确到百位）。 第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表 日均接待游客量 （万人次） 单日最多接待游客量 （万人次） 停车位数量 （个） 第七届 0.8 6 约 3 000 第八届 2.3 8.2 约 4 000 第九届 8（预计） 20（预计） 约 10 500 第十届 1.9（预计） 7.4（预计） 约_ 22阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为)2( aa的正方
9、形 ABCD 各边上分别 截取 AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45 时，求正方形 MNPQ 5 的面积。 小明发现：分别延长 QE，MF，NG，PH，交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R， S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如 图 2） 请回答： （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新 的正方形的边长为_； （2）求正方形 MNPQ 的面积。 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在等边ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF， 再分别过点 D，E，F 作 BC，A
10、C，AB 的垂线，得到等边 RPQ，若 3 3 = RPQ S，则 AD 的长为_。 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23在平面直角坐标系xOy中，抛物线 22 2 =mxmxy（0m）与y轴交于点 A， 其对称轴与x轴交于点 B。 （1）求点 A，B 的坐标； （2） 设直线l与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对 称，求直线l的解析式； （3） 若该抛物线在12x这一段位于直线l 的上方，并且在32 x这一段位于直线 6 AB 的下方，求该抛物线的解析式。 24在ABC 中，AB=AC，BAC=（600），将线段 BC 绕点
11、B 逆时针旋转 60得到线段 BD。 （1）如图 1，直接写出ABD 的大小（用含的式子表示）； （2）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结 DE，若DEC=45，求的值。 25 对于平面直角坐标系xOy中的点 P 和C， 给出如下定义： 若C 上存在两个点 A， B， 使得APB=60，则称 P 为C 的关联点。 已知点 D（ 2 1 ， 2 1 ），E（0，-2），F（32，0） （1）当O 的半径为 1 时， 在点 D，E，F 中，O 的关联点是_； 过点 F 作直线l交y轴正半轴于点 G，使GFO=30，若直线l上的点 P（m， n）是O 的关联点，求m的取值范围； （2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。 7 8 9 10
