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1、聊城大学数学写作论文数学写作论文题 目:浅谈矩阵Jordan标准形及其应用 专业代码: 作者姓名: 学 号: 单 位: 级 班 指导教师: 年 月 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指 导 教 师 签 名: 日期 目 录第一章 引言1第二章 基本概念12.1若尔当标准形的定义12
2、.2若尔当标准形的性质3第三章 若尔当标准形的应用53.1矩阵分解论中的应用53.2解矩阵方程中的应用63.3解线性递推关系式中的应用73.4哈密顿凯莱定理的证明 11第四章 结束语13参考文献 14致 谢 15摘 要 矩阵在高等代数中占有举足轻重的作用.而且矩阵有很多形式,本文主要介绍Jordan标准形的定义、性质及其应用,例如:每个n级复数都与一个若尔当形矩阵相似、复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的不变因子没有重根等,对于今后的高等代数的进一步研究学习有很大的帮助.关键词：若尔当标准形; 矩阵分解; 线性递推; 哈密顿凯莱定理AbstractMatrix is very impo
3、rt in high level mathematic. There are many kinds of matrix. This paper describes several equivalent definitions of mathematic, and then focused on the properties of Jordan matrix and application of the Jordan matrix such as every n level plural is similar for a Jordon matrix, plural A is similar to
4、 diagonally matrix on the base of the unconverted factor without two same resultsKey words Jordan matrix; matrix resolve; analysis linearly; Hamilton-Caylay14浅谈矩阵Jordan标准形及其应用第一章 引言在学习与代数相关的知识中,矩阵的学习是必须的,在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具.在研究矩阵相似问题时,若尔当块、若尔当标准形的定义及简单性质比较容易给出,但对若尔当标准形一些具有规律性的性质研究却很少,而正是这些性质使得若尔当标准形
5、具有极其重要的理论和应用价值.对于若尔当标准形的性质及其应用,大多都是从相似的角度提及.但在大量实际应用中不难发现,将一般矩阵的问题化为若尔当标准形来讨论,可以使问题得到简化.为此,本文将围绕若尔当标准形的应用,从四个大方面:若尔当标准形在矩阵分解论中的应用、若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用、若尔当标准形在矩阵方程中的应用、以及用若尔当标准形证明哈密顿凯莱（Hamilton-Caylay）定理,来对若尔当标准形的应用进行归纳总结.本文以例题的形式给出了若尔当矩阵在这四个方面的应用,通过同常规解题方法的比较,不难得出,矩阵的若尔当标准形对于我们求解某些矩阵的幂、行列式的值以及证明都是很有用
6、的.总的来说,本文从若尔当标准形的定义及简单性质出发,对若尔当标准形的应用做了系统的梳理.第二章 Jordan标准形基本概念21定义形式为 的矩阵为若尔当（Jordan）块，其中是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵为若尔当形矩阵,其一般形式如,其中,并且中有一些可以相等.特别地，一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当矩阵包括对角矩阵.在复数域范围内,对任意方阵总存在可逆矩阵,使,其中为若尔当块.而称为的若尔当标准形.2.2性质性质1 级的复矩阵的若尔当标准形除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵唯一确定的.性质2 级的复矩阵的若尔当标准形，主对角线上的元素正是的特征多项式的全部的根，即的全部特
7、征值（重根按重数计算）.性质3 复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的若尔当标准形全由1级的若尔当块构成.性质4 设,，若为的全部特征值,则 的全部特征值为,即.证明 设为的若尔当标准形,再设,则，可见的全部特征值为.性质5 在复数域范围内,对任意方阵总存在可逆矩阵,使,则.其中 .证明 设,注意到：，.于是第三章 若尔当标准形的应用3.1 若尔当标准形在矩阵分解论中的应用（Voss定理）设，证明：可以分解成两个对称矩阵之积，并且其中至少有一个是可逆的.例1设，矩阵和矩阵都是矩阵，记， ，则有.证明 矩阵和矩阵都是对称的矩阵，且是可逆的，并有又，则相似于一个若尔当矩阵，即存在，使得,其中取
8、 即满足，都是对称的，是可逆的，并且.3.2 若尔当标准形在矩阵方程中的应用我们以“设，求矩阵,使得”为例，说明标准形在解矩阵方程中的应用.为了描述结果，我们引进下面的记号.记 如果则 上面的矩阵也称为下三角形矩阵。可以看出，对任意，如果，由于是的多项式，因此能与交换。可以看出，是的一个子空间，并且.例 2 设，求矩阵,使得.解：存在，是可逆的，使得是的标准形： 其中 于是，当且仅当是的一个解时，是的一个解。将分块： 其中是矩阵，这时，的计算都可以用分块乘法做.，求矩阵，就是求矩阵组，使得. 如果，则的解集合是；如果（包括），则的解集合是 ，由此，原方程的解集合就已经完整地得到了.因此我们有下
9、面的结论。 结论 ：设，如果的若尔当标准形中的各若尔当块所属的特征值两两不同，则与可交换的矩阵必定是的多项式.这就是说：上述条件是的充分必要条件.3.3若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用定理 设（其中为已知常数）是一个线性递推关系.,其中为矩阵的若尔当标准形,而矩阵 是由线性递推关系式所唯一确定的阶方阵.如果，则.证明 从而于是又即故.例3 求阶行列式.解 将按第一列展开,这里与分别是与的余子式,把它们分别按第一列展开,得.那么,故.由性质2，存在可逆矩阵,使得,其中,易求得,由定理可得故.说明：（1）当线性递推关系式为三阶时,即阶行列式满足如下关系式：可用如下方法简便求得.则做特征方程
10、1若,则方程有两个不等复根,则,其中为待定系数,可令和得出；2若，则方程有重根,则,其中为待定系数,可令和得出.例4 计算阶行列式.解 将按第一列展开,即.做特征方程,得.即令时, 令时, ,解得,代入得，所以.（2）当线性递推关系式为二阶时,即阶行列式满足如下关系式则.3.4用若尔当标准形证明哈密顿凯莱（Hamilton-Caylay） 定理（Hamilton-Caylay定理） 设是数据上一个矩阵,是的特征多项式,则.证明 由性质2得为的若尔当标准形,其中 为的全部特征值，代表0或1.则,并且令,则再由,由性质4得.例5 若，求.解 设为的特征多项式,则再设, 将代入式有解得.所以.故.第
11、四章 结束语本文给出了若尔当矩阵在矩阵分解论、解线性递推关系式、证明哈密顿凯莱（Hamilton-Caylay）定理、矩阵方程四个方面的应用,通过同常规解题方法的比较,我们不难发现,将一般矩阵的问题化为若尔当标准形来讨论,可以使问题得到化简.从而很好地体现了若尔当标准形具有的重要应用价值.参考文献1王萼芳，石生明高等代数(第三版.高等教育出版社M.2001：311352.2李殿龙，隋思涟.2-幂零矩阵的Jordan标准形.青岛建筑工程学院学报J.2001.3张禾瑞,郝炳新.高等代数.第三版，高等教育出版社，19844北京大学数学系.高等代数.第二版，高等教育出版社，19885王莲花.矩阵的若尔
12、当标准形与有理标准形的关系探究J.河南教育学院学报.2009.6王英.若尔当标准形问题新探.湖南理工学院学报J.2007.7陆卫国.矩阵Jordan标准化的一个新方法。铜陵学院学报J.2004.8高芳征，常瑾瑾.若尔当矩阵若尔当标准形的标注 安阳师范学院学报J.2010.9刘勇.相似变换矩阵的计算方法.中国科教创新导刊J.2010.10 伊继昆. Jordan矩阵的应用. 玉溪师专学报(自然科学版)J. 第11期第4卷1995:5459.11 李桂荣，孙杰，刘耀斌. Jordan标准形矩阵的性质和应用. 德州学院学报J. 第19期第4卷 2003:2237.12 高芳征,常瑾瑾. 矩阵若尔当标准形的标注. 安阳师范学院学报J. 第8期第5卷 2010：1215.13Roger A. Hom charles R.Johnson. Matrix Analysis. Cambridge. Univ
