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1、哥德巴赫猜想与潘承洞人的首要责任就是要有雄心。在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素，但是最高贵的雄心，就是要在死后留下具有永久价值的东西。哈代：一个数学家的自白 编者按： 也许是因为徐迟的那篇充满激情和诗意的报告文学，也许是因为历史的因缘凑合，哥德巴赫猜想居然成了中国人家喻户晓的一个名词。这个词代表了一段传奇，代表了一代人的集体记忆，也代表了一个民族的光荣与梦想。直到今天，仍然有难以计数的人们，有大学老师、中学老师，甚至工人、农民，为哥德巴赫猜想着魔。我们无法准确地评价延续 20 多年的“哥德巴赫猜想现象”。也许不同的人站在不同的视角上，都可以生发出自己的思考。 而下面的文章，则纯粹从学术的角度介
2、绍了哥德巴赫猜想的研究历史，也是一篇很好的科普文章。希望有助于人们更深入地了解哥德巴赫猜想，当然，我们也把此文献给去世 5 年的潘承洞先生他的名字已经镌刻在哥德巴赫猜想研究的年表上。 数学与数论 数学王子高斯（C. F. Gauss）有一句名言：“数学是科学的女王”；他又讲“数论是数学的王冠”。正如他所说，数论在数学中一直处于醒目的地位。 18 世纪的领袖数学家拉格朗日（J. L. Lagrange）有一个著名的定理，即任何一个正整数都能写成四个整数的平方和。这个定理是费马（Fermat）早年的猜测，与拉格朗日同时代的大数学家欧拉（L. Euler）曾经给出一个不完整的证明。第一个完整的证明是
3、拉格朗日给出的。他在完成这个工作之后很感慨，在给欧拉的一封信中，他说：“对我来讲，算术是最难的。”这里，算术就是数论。这是拉格朗日对数论的评价。 何谓哥德巴赫猜想？ 俄国数学家辛钦（A. Ya. Shinchin）曾经评论说，哥德巴赫猜想是王冠上的一颗明珠。当然，这个王冠上可能还有其它明珠。 哥德巴赫（C. Goldbach）并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他于 1690 年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育。哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯。1742 年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，虽然他不能
4、给出证明。 用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于 7 的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于 4 的偶数一定是两个素数的和。 任何人看了这个猜想之后，都能发现这是一个漂亮的猜想。本人认为，一个好的猜想应该具备以下四个条件。第一，它的表述应该很简单，大凡智力正常的人一听就能明白。我相信，小学四、五年级的学生都能明白哥德巴赫猜想的内容。第二个条件，虽然表述很简单，但是这个猜想的证明断然不能简单。第三点，一旦有了证明，这个证明一定是出人意料的。一个好的猜想的证明一定是有趣的，绝对不能像愚公移山一样，天天重
5、复同样枯燥的工作，重复了上万年，才取得成功。第四点，这个猜想绝对不能是孤立的，任何孤立的猜想在数学中都没有太大的意义。一个好的猜想的研究应该可以提升到人类文化史的高度上来看，能够带动其它相关领域、甚至是数学以外的学科的发展。具备上面这四点，那就是一个伟大的猜想。我个人认为，哥德巴赫猜想就具备以上这四个条件。 给定一个猜想，人们可以用各种各样的方法进行研究。譬如，对于哥德巴赫猜想，有人可能用数手指头的方法来研究，这人可能是个小学生。有人想用打算盘的方法来研究，那这人可能是一个小店的会计兼出纳。真正研究这个猜想，则需要很高深的数学工具。还必须指出的是，从这个猜想可以看出数学的特性数学是在所有科学当
6、中唯一能够处理无穷的学科。我们不能用做实验的方法来研究哥德巴赫猜想。计算机算得再快，也只能在有限时间内算有限个数；然而，遗憾的是，奇数和偶数都有无穷多个。所以，这个猜想让迷信实验的人非常沮丧。不过，在最好的计算机所能算到的范围之内，哥德巴赫猜想全是对的。 奇数的哥德巴赫猜想 相对来讲，奇数的猜想比较容易，因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和，那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和，因为任何奇数减去 3 都是一个偶数。 关于哥德巴赫猜想的研究，历史上第一个重要文献是哈代（G. H. Hardy）和李特伍德（J. E. Littlewood）1921 年的伟大论文，在
7、这篇长达 70页的文章里，他们提出了圆法。哈代在英国皇家学会演讲时说：“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想”，虽然此前很多有名的数学家都研究过这个猜想，甚至有人宣布证明了猜想。然而，哈代和李特伍德对奇数猜想的证明依赖于一个条件广义黎曼（B. Riemann）猜想这个猜想到现在也未被证明。在英国人看来，哈代重振了牛顿（I. Newton）以后的英国分析。 1937 年，俄国数学家维诺格拉多夫（I. M. Vinogradov）无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说，在数轴上取一个大数，从这个数往后看，哥德巴赫
8、猜想都对；在这个数前面的奇数，需要用手或计算机来验证。然而，至今计算机还未能触及那个大数。 维诺格拉多夫的证明发表之后，又出现了几个新证明。这些证明既简洁，又提供了完全不同的方法。在这些新证明中，有三个特别应该强调的：一个是俄国数学家林尼克（Yu. V. Linnik）的，再一个是潘承彪先生的；还有英国数学家沃恩（R. C. Vaughan）的。在相当长的一个阶段内，人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人，他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。与此同时，他还是一个很好的数理统计学家。 偶数哥德巴赫猜想 很遗憾，偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是，数学家们从各个方向逼近这个猜想，并且取得了
9、辉煌的成就。我将介绍研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径，其中几乎每个途径都有潘老师的工作。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理，以及几乎哥德巴赫问题。途径一：殆素数 殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设 N 是偶数，虽然现在不能证明 N 是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即NAB ，其中 A 和 B 的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用狖 ab 狚来表示如下命题：每个大偶数 N 都可表为 AB，其中A 和 B 的素因子个数分别不超过 a 和 b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成狖11 狚。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。 1920
10、 年，布朗（V. Brun）首先取得突破性的进展，证明了命题狖 99狚。后续进展如下：哈德马赫（H. Rademacher）， 1924，狖 77 狚；艾斯特曼（T. Estermann），1932 ，狖 66 狚；里奇（G. Ricci），1937，狖57 狚；布赫施塔伯（A. A. Buchstab），1938，狖 55 狚；布赫施塔伯，1940，狖 44 狚；库恩（P. Kuhn），1941，ab 小于或等于 6。1950 年，菲尔兹奖得主塞尔伯格（A. Selberg ）改进了筛法。王元先生 1956 年证明了狖 34 狚。另一个俄国数学家阿依维诺格拉多夫（A. I. V inogra
11、dov）1957 年证明了狖 33 狚，王元先生 1957 年进一步证明了狖 23 狚。 上述结果有一个共同的特点，就是 a 和 b 中没有一个是 1，即 A 和 B 没有一个是素数。所以，要是能证明 a1，再改进 b，那就是一件更了不起的工作。林尼克 1941 年提出来的大筛法使得这项工作成为可能。后来，林尼克的学生、匈牙利数学家兰易（A. Rnyi）深入地研究了大筛法，并在 1948 年证明了命题狖 1b 狚。用王元先生的话说，这个 b 是个天文数字。当时，没有人知道 b 究竟有多大。这个 b 的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平，即另外一个重要常数 的值。 此后便是潘承洞先生的伟大
12、工作。1962 年，28 岁的潘承洞定出 可以取 13，从而推出命题狖 15 狚，一下子把 b 从天文数字降到了 5。这是一个决定性的突破。王元先生改进筛法之后，证明了狖 14 狚。同一年，潘老师又得到了一个更大的 38。从 38 出发，潘老师也证明了狖 14 狚。然后，布赫施塔伯证明了 38 蕴涵命题狖 13 狚，即从潘老师的 38可以推出命题狖 13 狚来。以上结果表明， 做得越大，b 就越小。但 不能太大，其可能的最大值是 12；比 12 再大，均值定理的形式就会发生变化，所以可以认为 12 是最佳。1965 年， 的最佳值 12 被取到，这个定理就叫做庞比埃里维诺格拉多夫（E. Bom
13、bieri A. I. Vinogradov）定理，是庞比埃里和阿依维诺格拉多夫独立证明的。庞比埃里是意大利数学家，因为这项工作获得了菲尔兹奖。虽然庞比埃里证明了 能取到12，但是他未能证明狖 12 狚。 命题狖 12 狚的证明是陈景润先生完成的。1966 年，陈景润先生在科学通报上登了命题狖 12 狚证明的简报，此后“文化大革命”开始，科学通报与中国科学随即停刊。直到 1973 年中国科学复刊之后，陈先生狖 12 狚证明的全文才得以发表。 以上是沿着殆素数方向研究哥德巴赫猜想的进展。直到现在，狖 12 狚还是最好的结果。虽然突破狖 12 狚就会得到狖 11 狚，但是大家公认再用筛法去证明狖
14、11 狚几乎是不可能的，只有发展革命性的新方法，才有可能证明狖 11 狚。所以，哈伯斯坦（H. Halberstam）与里切特（H. E. Richert）在他们的名著筛法（Sieve Methods）的最后一章指出： “陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。” 途径二：例外集合 在数轴上取定大整数 x，再从 x 往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x 之前所有例外偶数的个数记为 E（x）。我们希望，无论 x 多大，x 之前只有一个例外偶数，那就是 2，即只有 2 使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于 E（x）永远等于 1。当然，直到现在还不能证明 E（x）1；但是
15、能够证明 E（x）远比 x 小。在 x 前面的偶数个数大概是 x2；如果当 x 趋于无穷大时，E（x ）与 x 的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。 维诺格拉多夫的三素数定理发表于 1937 年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。 现在，我每个月都要接见几个业余搞哥德巴赫猜想的人，其中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的。实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度。我告诉他们，这个结论华老早在 60 年前就真正证明出来了。 注意，我们的目标是证明 E（x）的上界是
16、x 的零次方，然而 1938 年E（x）上界的世界记录基本上是 x 的 1 次方，二者相差很远。因此降低该上界中 x 的方次将是一件很重要的事。1975 年，蒙哥马利（H. L. Montgomery）与沃恩证明存在一个小于 1 的正数 ，使得 E（x）的上界是x 的 次方。1979 年，潘老师与陈景润先生合作，证明了这个 可以取0.99。按照陈先生和潘老师的思路，后来有很多人都改进了 的值。目前最好的结果是李红泽教授 2000 年得到的， 可以取 0.92。 在广义黎曼猜想之下，哈代和李特伍德证明了 可取 12。就是说，即使能够证明广义黎曼猜想，我们也不能进而推出哥德巴赫猜想。最近，我与叶扬波教授合作，利用广义黎曼猜想和 L函数零点分布的统计规律猜想，进一步推进了例外集合的上界，证明了 E（x）不超过 lo g x 的平
