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1、哥德巴赫猜想与潘承洞人的首要责任就是要有雄心。在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素,但是最高贵的雄心,就是要在死后留下具有永久价值的东西。哈代:一个数学家的自白 编者按: 也许是因为徐迟的那篇充满激情和诗意的报告文学,也许是因为历史的因缘凑合,哥德巴赫猜想居然成了中国人家喻户晓的一个名词。这个词代表了一段传奇,代表了一代人的集体记忆,也代表了一个民族的光荣与梦想。直到今天,仍然有难以计数的人们,有大学老师、中学老师,甚至工人、农民,为哥德巴赫猜想着魔。我们无法准确地评价延续 20 多年的“哥德巴赫猜想现象”。也许不同的人站在不同的视角上,都可以生发出自己的思考。 而下面的文章,则纯粹从学术的角度介
2、绍了哥德巴赫猜想的研究历史,也是一篇很好的科普文章。希望有助于人们更深入地了解哥德巴赫猜想,当然,我们也把此文献给去世 5 年的潘承洞先生他的名字已经镌刻在哥德巴赫猜想研究的年表上。 数学与数论 数学王子高斯(C. F. Gauss)有一句名言:“数学是科学的女王”;他又讲“数论是数学的王冠”。正如他所说,数论在数学中一直处于醒目的地位。 18 世纪的领袖数学家拉格朗日(J. L. Lagrange)有一个著名的定理,即任何一个正整数都能写成四个整数的平方和。这个定理是费马(Fermat)早年的猜测,与拉格朗日同时代的大数学家欧拉(L. Euler)曾经给出一个不完整的证明。第一个完整的证明是
3、拉格朗日给出的。他在完成这个工作之后很感慨,在给欧拉的一封信中,他说:“对我来讲,算术是最难的。”这里,算术就是数论。这是拉格朗日对数论的评价。 何谓哥德巴赫猜想? 俄国数学家辛钦(A. Ya. Shinchin)曾经评论说,哥德巴赫猜想是王冠上的一颗明珠。当然,这个王冠上可能还有其它明珠。 哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家,而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他于 1690 年生于德国哥尼斯堡,受过很好的教育。哥德巴赫喜欢到处旅游,结交数学家,然后跟他们通讯。1742 年,他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说,他相信这个猜想是正确的,虽然他不能
4、给出证明。 用当代语言来叙述,哥德巴赫猜想有两个内容,第一部分叫做奇数的猜想,第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出,任何一个大于等于 7 的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说,大于等于 4 的偶数一定是两个素数的和。 任何人看了这个猜想之后,都能发现这是一个漂亮的猜想。本人认为,一个好的猜想应该具备以下四个条件。第一,它的表述应该很简单,大凡智力正常的人一听就能明白。我相信,小学四、五年级的学生都能明白哥德巴赫猜想的内容。第二个条件,虽然表述很简单,但是这个猜想的证明断然不能简单。第三点,一旦有了证明,这个证明一定是出人意料的。一个好的猜想的证明一定是有趣的,绝对不能像愚公移山一样,天天重
5、复同样枯燥的工作,重复了上万年,才取得成功。第四点,这个猜想绝对不能是孤立的,任何孤立的猜想在数学中都没有太大的意义。一个好的猜想的研究应该可以提升到人类文化史的高度上来看,能够带动其它相关领域、甚至是数学以外的学科的发展。具备上面这四点,那就是一个伟大的猜想。我个人认为,哥德巴赫猜想就具备以上这四个条件。 给定一个猜想,人们可以用各种各样的方法进行研究。譬如,对于哥德巴赫猜想,有人可能用数手指头的方法来研究,这人可能是个小学生。有人想用打算盘的方法来研究,那这人可能是一个小店的会计兼出纳。真正研究这个猜想,则需要很高深的数学工具。还必须指出的是,从这个猜想可以看出数学的特性数学是在所有科学当
6、中唯一能够处理无穷的学科。我们不能用做实验的方法来研究哥德巴赫猜想。计算机算得再快,也只能在有限时间内算有限个数;然而,遗憾的是,奇数和偶数都有无穷多个。所以,这个猜想让迷信实验的人非常沮丧。不过,在最好的计算机所能算到的范围之内,哥德巴赫猜想全是对的。 奇数的哥德巴赫猜想 相对来讲,奇数的猜想比较容易,因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和,那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和,因为任何奇数减去 3 都是一个偶数。 关于哥德巴赫猜想的研究,历史上第一个重要文献是哈代(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)1921 年的伟大论文,在
7、这篇长达 70页的文章里,他们提出了圆法。哈代在英国皇家学会演讲时说:“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想”,虽然此前很多有名的数学家都研究过这个猜想,甚至有人宣布证明了猜想。然而,哈代和李特伍德对奇数猜想的证明依赖于一个条件广义黎曼(B. Riemann)猜想这个猜想到现在也未被证明。在英国人看来,哈代重振了牛顿(I. Newton)以后的英国分析。 1937 年,俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov)无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出,任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说,在数轴上取一个大数,从这个数往后看,哥德巴赫
8、猜想都对;在这个数前面的奇数,需要用手或计算机来验证。然而,至今计算机还未能触及那个大数。 维诺格拉多夫的证明发表之后,又出现了几个新证明。这些证明既简洁,又提供了完全不同的方法。在这些新证明中,有三个特别应该强调的:一个是俄国数学家林尼克(Yu. V. Linnik)的,再一个是潘承彪先生的;还有英国数学家沃恩(R. C. Vaughan)的。在相当长的一个阶段内,人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人,他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。与此同时,他还是一个很好的数理统计学家。 偶数哥德巴赫猜想 很遗憾,偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是,数学家们从各个方向逼近这个猜想,并且取得了
9、辉煌的成就。我将介绍研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径,其中几乎每个途径都有潘老师的工作。这四个途径分别是:殆素数,例外集合,小变量的三素数定理,以及几乎哥德巴赫问题。途径一:殆素数 殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设 N 是偶数,虽然现在不能证明 N 是两个素数之和,但是可以证明它能够写成两个殆素数的和,即NAB ,其中 A 和 B 的素因子个数都不太多,譬如说素因子个数不超过10。现在用狖 ab 狚来表示如下命题:每个大偶数 N 都可表为 AB,其中A 和 B 的素因子个数分别不超过 a 和 b。显然,哥德巴赫猜想就可以写成狖11 狚。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。 1920
10、 年,布朗(V. Brun)首先取得突破性的进展,证明了命题狖 99狚。后续进展如下:哈德马赫(H. Rademacher), 1924,狖 77 狚;艾斯特曼(T. Estermann),1932 ,狖 66 狚;里奇(G. Ricci),1937,狖57 狚;布赫施塔伯(A. A. Buchstab),1938,狖 55 狚;布赫施塔伯,1940,狖 44 狚;库恩(P. Kuhn),1941,ab 小于或等于 6。1950 年,菲尔兹奖得主塞尔伯格(A. Selberg )改进了筛法。王元先生 1956 年证明了狖 34 狚。另一个俄国数学家阿依维诺格拉多夫(A. I. V inogra
11、dov)1957 年证明了狖 33 狚,王元先生 1957 年进一步证明了狖 23 狚。 上述结果有一个共同的特点,就是 a 和 b 中没有一个是 1,即 A 和 B 没有一个是素数。所以,要是能证明 a1,再改进 b,那就是一件更了不起的工作。林尼克 1941 年提出来的大筛法使得这项工作成为可能。后来,林尼克的学生、匈牙利数学家兰易(A. Rnyi)深入地研究了大筛法,并在 1948 年证明了命题狖 1b 狚。用王元先生的话说,这个 b 是个天文数字。当时,没有人知道 b 究竟有多大。这个 b 的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平,即另外一个重要常数 的值。 此后便是潘承洞先生的伟大
12、工作。1962 年,28 岁的潘承洞定出 可以取 13,从而推出命题狖 15 狚,一下子把 b 从天文数字降到了 5。这是一个决定性的突破。王元先生改进筛法之后,证明了狖 14 狚。同一年,潘老师又得到了一个更大的 38。从 38 出发,潘老师也证明了狖 14 狚。然后,布赫施塔伯证明了 38 蕴涵命题狖 13 狚,即从潘老师的 38可以推出命题狖 13 狚来。以上结果表明, 做得越大,b 就越小。但 不能太大,其可能的最大值是 12;比 12 再大,均值定理的形式就会发生变化,所以可以认为 12 是最佳。1965 年, 的最佳值 12 被取到,这个定理就叫做庞比埃里维诺格拉多夫(E. Bom
13、bieri A. I. Vinogradov)定理,是庞比埃里和阿依维诺格拉多夫独立证明的。庞比埃里是意大利数学家,因为这项工作获得了菲尔兹奖。虽然庞比埃里证明了 能取到12,但是他未能证明狖 12 狚。 命题狖 12 狚的证明是陈景润先生完成的。1966 年,陈景润先生在科学通报上登了命题狖 12 狚证明的简报,此后“文化大革命”开始,科学通报与中国科学随即停刊。直到 1973 年中国科学复刊之后,陈先生狖 12 狚证明的全文才得以发表。 以上是沿着殆素数方向研究哥德巴赫猜想的进展。直到现在,狖 12 狚还是最好的结果。虽然突破狖 12 狚就会得到狖 11 狚,但是大家公认再用筛法去证明狖
14、11 狚几乎是不可能的,只有发展革命性的新方法,才有可能证明狖 11 狚。所以,哈伯斯坦(H. Halberstam)与里切特(H. E. Richert)在他们的名著筛法(Sieve Methods)的最后一章指出: “陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。” 途径二:例外集合 在数轴上取定大整数 x,再从 x 往前看,寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数,即例外偶数。x 之前所有例外偶数的个数记为 E(x)。我们希望,无论 x 多大,x 之前只有一个例外偶数,那就是 2,即只有 2 使得猜想是错的。这样一来,哥德巴赫猜想就等价于 E(x)永远等于 1。当然,直到现在还不能证明 E(x)1;但是
15、能够证明 E(x)远比 x 小。在 x 前面的偶数个数大概是 x2;如果当 x 趋于无穷大时,E(x )与 x 的比值趋于零,那就说明这些例外偶数密度是零,即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。 维诺格拉多夫的三素数定理发表于 1937 年。第二年,在例外集合这一途径上,就同时出现了四个证明,其中包括华罗庚先生的著名定理。 现在,我每个月都要接见几个业余搞哥德巴赫猜想的人,其中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的。实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度。我告诉他们,这个结论华老早在 60 年前就真正证明出来了。 注意,我们的目标是证明 E(x)的上界是
16、x 的零次方,然而 1938 年E(x)上界的世界记录基本上是 x 的 1 次方,二者相差很远。因此降低该上界中 x 的方次将是一件很重要的事。1975 年,蒙哥马利(H. L. Montgomery)与沃恩证明存在一个小于 1 的正数 ,使得 E(x)的上界是x 的 次方。1979 年,潘老师与陈景润先生合作,证明了这个 可以取0.99。按照陈先生和潘老师的思路,后来有很多人都改进了 的值。目前最好的结果是李红泽教授 2000 年得到的, 可以取 0.92。 在广义黎曼猜想之下,哈代和李特伍德证明了 可取 12。就是说,即使能够证明广义黎曼猜想,我们也不能进而推出哥德巴赫猜想。最近,我与叶扬波教授合作,利用广义黎曼猜想和 L函数零点分布的统计规律猜想,进一步推进了例外集合的上界,证明了 E(x)不超过 lo g x 的平