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1、高等数学（上）第一章 函数与极限1. 设 , 求2. 设的定义域为，问：； ； ； 的定义域是什么？ （1）3. 设，求和，并做出这两个函数的图形。 4. 设数列有界, 又 证明: 5. 根据函数的定义证明: (2) 6. 根据定义证明: 当时,函数是无穷大.问应满足什么条件时,才能使7. 求极限: =0 = =0(4) =(5) =(6) =8. 计算下列极限: =0 =9. 计算下列极限: = = =(4)= （5）= （6）= 10. 利用极限存在准则证明: 故原式1 数列的极限存在,并求其极限.11. 当时, 与相比, 哪一个是较高阶的无穷小?12. 当时, 无穷小和是否同阶?是否等价
2、?13. 证明: 当时, 有.14. 利用等价无穷小的代换定理, 求极限: .15. 讨论 的连续性, 并画出其图形.16. 指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其连续. =0 17. 讨论函数的连续性, 若有间断点, 判别其类型。18. 求函数 的连续区间, 并求. 19. 求下列极限： = =1 20. 设函数, 应怎样选择，使在内连续。 21. 证明方程其中至少有一正根，并且它不超过.22. 若在上连续，, 则在上必有, 使. 23. 证明: 若在内连续, 存在, 则必在内有界. 第二章导数与微分典型例题解析例1设在处可导，求分析 所求极限与的定义式子
3、很相似，则由的定义即可求解解 =错误解答 令，则，= （1） = （2）错解分析 式（1）用到在点的导数；式（2）用到在点连续但是题目只是给出在处可导的条件，而在的邻域内是否可导以及在处是否连续都未知所以上述做法中的式（1）与式（2）有可能不成立例2设，其中在上有定义且在点处可导试求分析 求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数在该点的函数值，但在本题中函数的可导性未知，故只能用定义来求解 当时，=所以=当时，综上所述，= 例3 设函数，其中的一阶导函数有界求分析 求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也可先求出二阶导函数，然后求二阶
4、导函数在该点的函数值，但在本题中函数的可导性未知，故只能用定义来求解由于，则有又=,所以=错误解答 因为，所以=错解分析 此解法错误的根源在于的一阶导函数有界并不能保证二阶可导而上述求解却要用到注此题用到如下结论：a有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；b可导必连续例4设的一阶导数在处连续且，则（ ）A在处的二阶导数不存在B一定存在CD解 因为，所以，由于在处连续，故又因为，所以选C例5 设在的某个邻域内有定义，、为该邻域内任意两点且满足条件：（1）；（2）试证在上述邻域内分析 此处无法用求导公式和求导法则证明由于的表达式未给出，故只能考虑从定义出发如果用条件（2），则需先求出证明 因为在的某个邻域
5、内有定义，记该邻域为，则对任意、，有令，则于是对任意，当及时，考虑下列极限=，故，例6（04研）设函数连续，且，则存在，使得（ ）A在内单调增加B在内单调减少C对任意的有D对任意的有解由导数定义知根据极限的保号性，知存在，当时，有因此当时，有；当时，有，故选C注 函数只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论例7设不恒为零的奇函数在处可导试说明为函数的哪一类间断点解由题设知，令可得则=，于是在处有极限从而是的可去间断点例8 设函数可导，则是在处可导的（ ）A充分必要条件B充分条件但非必要条件C必要条件但非充分条件D既非充分条件又非必要
6、条件分析表达式中含有绝对值符号，又要考查函数在一点的导数的存在性，因此要考虑函数的左右导数解 由导数定义，知，可见存在，即故选A例9（01研）设，则在点可导的充要条件为（ ）A存在B存在C存在D存在分析 本题主要考查导数的定义，另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号解 注意到，且如果存在则 所以A成立只保证存在，而不是存在的充分条件如果存在，则，故B是存在的充要条件对于C，注意到，所以若存在，则由右边推知左边极限存在且为零若左边极限存在，则由知上式左边极限可能不存在，故可能不存在至于D，若存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在而左边存在，不能保证右边拆项后极限也分别存在故选B
7、例10（99研）设，其中是有界函数，则在处（ ）A极限不存在 B可导 C连续但不可导 D极限存在但不连续解 由于 =，=，故选B例11 已知在处可导且求分析 题目条件是在处可导，必然有在处连续，从而可知该极限属于型解 在处可导则且当充分大时故 =注 此题用到当时， 例12 讨论函数的可导性分析 的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上为分段函数解法1由可得或由得于是，可求得，因为=，=，所以，即在处可导而=，=，则在处不可导综上所述在处不可导，在上均可导解法2依题意，是初等函数，且仅在和处可能不可导故只需讨论在这两点的情形（1）时，由于，故（2）时，由于不存在，故只在处不可导，在上均
8、可导解法3 由于，由导数定义可知，在处不可导，而在处一阶可导，因此，在任意点处均可导，再只需考查的可导性由导数定义可知，仅仅在处不可导，故仅在处不可导，在上均可导例13 设，讨论的可导性分析先应求出的表达式本质上为分段函数解由于，则有显然当或时，函数可导下面讨论时的可导性由于=，=，于是，从而可知仅在处不可导例14（05研）设函数，则在内（ ）A处处可导B恰有一个不可导点C恰有两个不可导点D至少有三个不可导点解由于=易求得，则，故为不可导点同理也为不可导点故选C例15 设的定义域为，其中，试讨论的可导性若可导，求其导数分析本质上是分段函数即，由此可知需先解出不等式 与 解由即解得，此时而由即解
9、得，此时则有且当时，=，=，即，所以在处不可导故例16 设函数，若要为可导函数，应如何选择？解 显然当及时，可导，故要使为可导函数，只需使其在处可导由可导与连续的关系，应该首先选择，使其在连续因，故当即时，在连续又，因此当时，存在，从而为可导函数例17 设，求，分析 三个函数中都有导数记号，其中表示函数对求导，求得后再与复合；表示函数对求导，即对求导，而；表示复合函数关于自变量求导解 ，则=，=，以及=例18 设求分析 本题既可直接由复合函数求导法则求导，也可利用微分的形式不变性先求出，然后可得解法1 直接由复合函数求导法则，令，则=解法2 利用一阶微分的形式不变性= 故=例19 设，求分析
10、为幂函数；为指数函数与幂函数复合而成的函数；而也为复合函数，它是指数函数与指数函数复合而成的函数解 =例20 若存在，求分析 可以先求出，也可利用微分的形式不变性求一阶微分解法1 =，所以=解法2 =例21 设求解法1 在的两边微分，得，即，化简得令，则于是可得，解法2 由于，于是，其中所以，注 本题作变换，则要求故在最后需指明是的定义域例22 设且有二阶导数求 解 =，=例23 已知函数具有任意阶导数且则当为大于的正整数时是（ ）ABCD分析 已知应求出，用数学归纳法推出阶导数解 当时，=，以及=，=故选B例24 设，则使存在的最高阶数为（ ）ABCD解 逐阶计算导数来验证，记，易见都存在，
11、再记，则由求导公式和定义，有，,即，则有由在不可导，知不再存在，即，选C例25 设求分析求函数的高阶导数一般先求一阶导数，再求二阶，三阶，找出阶导数的规律，然后用数学归纳法加以证明或者是通过恒等变形或者变量代换，将要求高阶导数的函数转换成一些高阶导数公式已知的函数或者是一些容易求高阶导数的形式用这种方法要求记住内容提要中所给出的一些常见函数的高阶导数公式解法1 =则， ， ， ，故=解法2 利用公式=由，得 =，故=解法3 利用幂级数展开式=，故=注 解法3用到了幂级数展开式，这是第十章无穷级数的内容例26 设求分析 先求出，若继续求导，将很难归纳出阶导数的表达式此类有理分式函数，常常是将其分解为部分分式之和，再使用已有的公式解 由于，则=例27 设函数由方程确定，求分析 由方程确定的隐函数的求导通常有两种方法，一是只需将方程中的看作中间变量，在两边同时对求导，然后将解出即可；二是利用微分形式不变性，方程两边对变量求微分，解出，则前的函数即为所求解法1 在方程两边同时对求导，有，所以解法2 在方程两边求微分，得，即，从而，所以例28 设函数由方程所确定求，解 将代入方程，得先求，下面用两种解法求解法1 对方程两边关于求导，可得将，代入上式中可求得解法2 对方程两边关于微分得即化简得将，代入上式中求得
