《直线方程的五种形式

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1、.,3.2.1直线的方程,.,复习,1、直线的倾斜角范围？,2、如何求直线的斜率？,3、在直角坐标系内如何确定一条直线？,答（1）已知两点可以确定一条直线。 （2）已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率） 可以确定一条直线。,.,1、过点 ，斜率为 的直线 上的每一点的坐标都满足方程（1）。,（1）, 直线方程的点斜式,（1）直线上任意一点的坐标是方程的解（满足方程）,（2）方程的任意一个解是直线上点的坐标,注：点斜式适用范围：斜率k存在,直线和方程的关系,.,1、当直线 的倾斜角为零度 时（图 2）tan0 =0 , 即 k=0. 这时直线 的方程就是,2、当直线 的倾斜角为 时, 直线没有斜

2、率这时直线 与y轴平行 或重合，它的方程不能用点斜式表示。 但因直线上每一点的横坐标都等于 (图3），所以它的方程是,.,例1,直线 经过点 ，且倾斜角 ，求直线 的点斜式方程,.,课堂练习：,1.写出下列直线的点斜式方程：,（1）经过点A(3, 1)，斜率是,（2）经过点B( , 2)，倾斜角是30；,（3）经过点C(0, 3)，倾斜角是0；,（4）经过点D(4, 2)，倾斜角是120.,2.填空题：,（1）已知直线的点斜式方程是 y2=x1，那么此直线的 斜率是_,倾斜角是_.,（2）已知直线的点斜式方程是 y2= (x1)，那么此直线 的斜率是_,倾斜角是_.,.,l,y,O,x,P0(

3、0, b),直线经过点 ， 且斜率为 的点斜式方程？,斜率,在 y轴的截距,探索,【注意】适用范围：斜率K存在,直线的斜截式方程,.,y=kx+b 直线方程的斜截式 .,O,y,x,P(0,b),截距与距离不一样，截距可正、可零、可负, 而距离不能为负。,思考2：截距与距离一样吗？,.,练习： 写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：,.,例2:直线l的倾斜角60，且l 在 y 轴上的截距为3，求直线l的斜截式方程。,.,练习:写出下列直线的斜截式方程。,（1） 斜率是 ，在y轴上的截距是-2；,（2） 斜率是-2，在y轴上的截距是4；,答案：,答案：,.,这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线方

4、程的两点式。,.,例：求经过两点P（a,0）,Q(0,b)的直线l方程,截距式:这个方程是由直线在x 轴和 y 轴的截距式确定的,叫做直线方程的截距式 .,.,例2.已知直线 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是2和3，求直线的方程。,.,温故知新,复习回顾,指明直线方程几种形式的应用范围.,点斜式,yy0 = k（xx0）,斜截式,y = kx + b,两点式,截距式,.,5.一般式:关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程 Ax+By+C = 0 ( 其中A、B 不全为零)叫做直线方程的一般式 .,.,练习,求下列直线方程。 1.经过点A(2,5) , 斜率是4; 2.经过两点 M(2

5、,1) 和 N(0,-3); 3. .经过两点 M(0,5) 和 N(5,0) 4. .经过M(6,-4) , -4/3为斜率的直线的一般方程 5已知直线l的方程为,.,5、已知直线经过点A（4,-3），斜率为-23求直线的点 斜式方程，并化为一般式方程. 6、已知三角形三个顶点分别为A(-3，0)， B(2，-2),C(0，1)求这个三角形三边各自所在直线的方程。,.,说明,直线的斜率的正负确定直线通过的象限.,当斜率大于0时,当斜率小于0时,.,课堂练习,.,课堂练习：,1.直线ax+by+c=0，当ab0,bc0时，此直线不通过的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D

6、.第四象限 2.两条直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.平行或重合,D,D,.,3.若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是_,-6,4、直线Ax+By+C=0通过第一、二、四象限，则（ ） (A) AB0,AC0 (B) AB0,AC0 (D) AB0,AC0,B,.,例2、设直线l的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列条件确定m的值： （1）l在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.,.,1、直线l过点A（1,2）且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围为 A、【

7、1,2】 B 0，1 C 0，12 D 0，12 2、若过点p(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围为 3、已知三点A（2，-3）B（4，3）C(5,k2),在同一条直线上，则k的值为 4、已知A(1,1),B(3,5) C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k以及a,b的值。 3、已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(3,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围。,(-2,1),12,K=2,a=4,b=-3,【12,4】,.,-1,1,450,1350,.,定点问题,1，直线y=k(x-2)+3必过定点 2，

8、,.,1、若过点P（-1,-3）的直线l与y轴的正半轴没有公共点，求直线L的斜率,2、设线L的方程为（a+1）x+y+2-a=0 1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程 2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围,3、一束光线从点A（-2,3）射入，经x轴上点P反射，通过点B(5,7),求点P的坐标,.,3、A,B两厂距离一条小河分别为400m和100m，A,B两厂之间的距离为500m,把一条小河看成一条直线，今在小河边建一座提水站，供A,B两厂用水，要使提水站到A,B两厂铺设的水管长度之和最小，提水站应建在什么地方？,.,1、若直线（2t-3）x+y+6=0不经过第一象限，

9、则t的取值范围为,2、经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有条,3,3、已知三角形ABC三个顶点的坐标为A(1，2),B(3，6),C(5，2),M为A,B的中点，N为A,C的中点，则中位线MN所在的直线方程为,2x+y-8=0,4、设点A（4,0），B(0，2),动点P(x,y)在线段AB上运动，1）求xy的最大值。 2）在1）中xy取最大值的前提下，是否存在过点P的直线L，使得L与两坐标轴的截距相等？若存在，求L的方程，不存在，说明理由,P(2,1) x-2y=0, x+y-3=0,.,求直线与两坐标轴围成的图形面积和周长,1、求斜率为34,且与坐标轴围成的三角

10、形周长为12的直线方程,2、已知一条直线过点A（-2,2）并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程。,.,1、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PA=PB，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是,x+y-5=0,2、求过点A(5,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程,3、已知直线L:,1）若直线的斜率是2，求m的值 2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，求此直线的方程,.,已知直线 的方程分别为:,如何用系数表示两条直线的平行与垂直的位置关系?,思考题:,.,例3、已知直线 试讨论： （1） 的条件是什么？ （2） 的条件是什么？,.,练习

11、,1、判断下列各对直线是否平行或垂直：,.,数学之美：,1.下列方程表示直线的什么式？倾斜角各为多少度？ 1) 2) 3),2.方程 表示( ) A)通过点 的所有直线； B）通过点 的所有直线； C）通过点 且不垂直于x轴的所有直线； D）通过点 且去除x轴的所有直线.,C,.,过点(2, 1)且平行于x轴的直线方程为_ 过点(2, 1)且平行于y轴的直线方程为_ 过点(2, 1)且过原点的直线方程为_,思维拓展1,.,（4）一直线过点 ，其倾斜角等于 直线 的倾斜角的2倍，求直线 的方程.,.,拓展2: 过点(1, 1)且与直线y2x7平行的直线 方程为_ 过点(1, 1)且与直线y2x7

12、垂直的直线 方程为_,.,小结：,斜率k和直线在y轴上的截距,斜率必须存在,斜率不存在时，,.,3.2.2 直线的两点式方程,.,x,y,l,P2(x2，y2),P1(x1，y1),探究：已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（x1x2, y1y2 ），求通过这两点的直线方程？,【注意】当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示；,.,1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程.,(1)P(2，1)，Q(0，-3) (2)A(0，5)，B(5，0) (3)C(-4，-5)，D(0，0),课堂练习：,方法小结,已知两点坐标，求直线方程的方法： 用两点式 先求出斜率k，

13、再用点斜式。,.,截距式方程,x,y,l,A(a，0),截距式方程,B(0，b),代入两点式方程得,化简得,横截距,纵截距,【适用范围】截距式适用于横、纵截距都存在且都 不为0的直线.,横截距与x轴交点的横坐标,纵截距与y轴交点的纵坐标,.,2.根据下列条件求直线方程,（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；,（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；,由截距式得： 整理得：,由截距式得： 整理得：,.,求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线?,解:,y=2x (与x轴和y轴的截距都为0),即：a=3,把(1,2)代入得：,设 直线的方程为:,2)当两截距都等于0时,1)

14、当两截距都不为0时,.,解：三条,变： 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线有几条?,解得：a=b=3或a=-b=-1,直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x,设,对截距概念的深刻理解,【变】：过(1,2)并且在y轴上的截距是x轴上的截距的2倍的直线是（ ） A、 x+y-3=0 B、x+y-3=0或y=2x C、 2x+y-4=0 D、2x+y-4=0或y=2x,.,小结,点P(x0,y0)和斜率k,点斜式,斜截式,两点式,截距式,斜率k, y轴上的纵截距b,在x轴上的截距a在y轴上的截距b,P1(x1,y1),P2(x2,y2),有斜率,有斜率,不垂直于x

15、、y轴的直线,不垂直于x、y轴，且不过原点的直线,.,斜截式,截距式,点斜式,应用范围,直线方程,已知条件,方程名称,（三）课堂小结,两点式,存在斜率k,存在斜率k,不包括垂直于坐标轴的直线,不包括垂直于x,y坐标轴和过原点的直线,【注】所求直线方程结果最终化简为一般式的形式,Ax+By+C=0,.,中点坐标公式,x,y,A(x1，y1),B(x2，y2),中点,.,例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求BC边所在直线的方程?,变式1:BC边上垂直平分线所在直线的方程?,变式2:BC边上高所在直线的方程?,3x-5y+15=0,3x-5y-7=0,.,练习：,.,数形结合与对称的灵活应用,已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0)、B(-2,-4) （1）求点A关于直线l的对称点 （2）在直线l是求一点P，使|PA|+|PB|最小 （3）在直线l是求一点Q，使| |QA|-|QB| |最大,A(2,0),A1(x,y),G,B(-2,-4),P,A(2,0),Q,B(-2,-4),(-2,8),(-2,3),(12,10),.,数形结合与对称的灵活应用,已知一条光线从点A(2，-1)发出、经x轴反射后， 通过点B(-2,-4)，与x轴交与点P，试求点P坐标,A(2,-1),(x,0),B(