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1、高 等 数 学,李 苹 计算机科学学院,一、问题的提出,实例: 变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,求和,取极限,近似值,精确值,二、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,2.存在条件：,3.组合形式,4.推广,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,三、对坐标的曲线积分的计算,定理,特殊情形,(4) 两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上 ）,可用向量表示,有向曲线元；,例1,解,例2,解,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,例3,解,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,四、小结,1对坐标曲线积分的概念,2对坐
2、标曲线积分的计算,3两类曲线积分之间的联系,一、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通 二维单连通,一维单连通 二维不连通,一维不连通 二维单连通,二、格林公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,L,1. 简化曲线积分,三、简单应用,2. 简化二重积分,解,(注意格林公式的条件),3. 计算平面面积,解,四、小结,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3. 格林公式的应用.,格林公式;,一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,二、曲线积分与路径无关的条件,定理2,两条件缺一不可,有关定理的说明：,三、二元函数的全微分求积,定理3,解,解,四、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,
