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1、常见递推数列在高考中的应用摘 要：递推数列是一类广泛而复杂的数列问题，具有逻辑推理性强，求解方法开放灵活，是近几年高考考查的主要内容之一，并且占有一定的分数比例。 本文就高考中经常出现的一些递推数列问题进行探讨研究。关键词：高中数学；数列；递推关系；通项公式虽然由数列递推公式求数列的通项式的题目，题型多样，解答方法灵活多变，但我们一般在求解递推数列问题的时候，通常采用一下两种策略：1.探索化归：主要是运用转化思想将其化归为等差数列或等比数列这两类基本数列的问题。2.列式建模：如果所涉及的问题不能转化为特殊数列，一般通过细心观察、寻找规律，对递推关系式的拼、拆、凑等的变形，从而构建出新的数列，从
2、而使问题得以解决。通过整理归纳，常见的几种类型递推式可归纳如下：1.形如： = +f（n）处理方法：迭加法或迭代法，即取 n =1，2，3，n - 1.得 n - 1 个式子：= +f（1）= +f（2） = +f（n-2）= +f（n-1）将以上式子迭加得到： = +f（1）+f（2）+ +f（n-1）例1：已知数列 中， =1， - =2（n-1），求通项 .解：由 - =2（n-1）知，- =2- =4 - =2n-4- =2n-2将以上式子迭加得到： = +2+4+ +（2n-2）=1+n（n-1）= -n+1引申： =p +f（n）型该如何求解？（若p=1，即为类型1的问题），下面研
3、究一下p 1的情况。思考：若数列 满足 =1， = +2n-1（n ），求通项 .解：设 = +An+B，则 = -An-B， = -A（n-1）-B，所以 -An-B= = - A（n-1）-B+2n-1，即 = +（ A+2）n+（ A+ B-1）令 A+2=0， A+ B-1=0，得A=-4，B=6，所以 是以3为首项， 为公比的等比数列。所以 =3 .故3 = -4n+6=3 +4n-6.2.形如： = f（n）处理方法：迭乘法或迭代法，即取 n =1，2，3，n - 1.得 n - 1 个式= f（n-1）= f（n-2） f（n-1）= f（n-3） f（n-2） f（n-1）=
4、= f（1） f（2） f（n-2） f（n-1）例2：已知数列 中， =1， = ，求通项 .解：由 = 知：= =（ ） =（ ） = = = =3.形如： = +p处理方法：换元法。即等式两边同时除以 ，得到 - =p则 是以 为首项，p为公差的等差数列。例3：已知数列 中， =1，3 + =3 ，求通项 .解：等式两边同时除以 得：3 +1=3即 - =所以 是以 =1为首项， 为公差的等差数列。=1+ （n-1）= n+故 =4.形如： =p +q（其中p，q为常数，p 1）处理方法：换元法（辅助数列法）方法一：令 + =p（ + ），展开整理，再对比 =p +q知： =即 + =p
5、（ + ）所以 + 是以 + 为首项，p为公比的等比数列。方法二：由 =p +q（1）=p +q（2）（1）-（2）得： - =p（ - ）则 - 是等比数列，求出 - ，此时就变为类型1形如： = +f（n）的递推公式，再利用迭代法即可求出。例4：已知数列 中， =1， =3 +2，求通项 .解：设 + =3（ + ），得设 =3 +2又 =3 +2=1+1=3（ +1） +1是以2为首项，3为公比的等比数列+1=2=2 -15.形如： =p + （其中p，q为常数，p 0）处理方法：换元转化法即将上式转化为： = +令 = ，则 = + ，以下就转化为类型4的问题了。例5：已知数列 中，
6、=1， =3 + ，求通项 .解：把 =3 + 两边同时除以 ，= +令 = ，则 = + （下面的做法如同类型4里的例题）设 + = （ + ），则 = +所以， =1，即 +1= （ +1） +1是以 +1= +1= 为首项， 为公比的等比数列。+1= ， = -1= -1= -6.形如： =p +q （pq 0）处理方法：换元转化法令 + =k（ + ），展开得 =（k- ） +k对比 =p +q 知，k- =p，k =q，求出， 的值，则 + 是以k为公比的等比数列，从而可以求出 + 的表达式，下面的问题就转化为以上其他类型的问题了。例6：已知数列 中， =1， =2， = + ，求通
7、项 .解：令 + =k（ + ），整理比?得，k=- ， =-1.所以 - =- （ - ），故 - 是以 - =1为首项，- 为公比的等比数列。所以， - =下面就转化为类型1的问题了，易得， = +1+（- ）+ + + + =1+ .思考与练习：1.已知数列 中， =2， ，求通项 .（ = ）2.已知数列 中， =2， ，求通项 .（ = ）3.在数列 中， ， =2，求通项 .解：由 可得出： ，即 ，令 = ，则 - = ，（转化为类型1的题目）- = ， - = ， - = ， ， = ，将以上（n-1）个式子相加，得 - = + + + + ，= + + + + + =1-所以 = .通过以上的几种类型的求解，我们可以看出此类问题有广度和创新度，可以提高学生分析问题和解决问题的能力，有利于培养学生的数学思维能力；解决这类题目方法是由已知递推式向特殊数列（比如等差、等比数列）转化，先求出转化后的特殊数列的通项公式，再求出原数列的通项公式。参考文献1 熊卫 递推数列求通项公式 科学教研杂志 2009年11月2 栗继鹏 由数列递推式求数列通项式的方法归类解析 科学时代 2009年第一期3 马文渊 如何由数列的递推式求通项公式 学周刊 学术研究 2013年第10期4 王建莉 关于递推数列的研究 阴山学刊 2015年3月（：安徽省淮南市第三中学）
