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1、排列组合复习,基 本 原 理,组合,排列,排列数公式,组合数公式,组合数性质,应 用 问 题,知识结构网络图：,两个原理的区别与联系,做一件事或完成一项工作的方法数,各类间相互独立 每一类都 直接完成,各步间相互联系 依次完成每一步后 间接完成,完成一件事，有n类办法， 在第一类办法中有m1种不同的方法， 在第二类办法中有m2种不同的方法， 在第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn种不同的方法,完成一件事，需要分成n个步骤， 做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法， 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1m2m3m
2、n 种不同的方法.,“步”与“步”间连续,“类”与“类”间 既不重复也不遗漏,例： (1)4封信投入3 个信箱，不同的投信方法有多少种？(2)在所有两位数中，个位数字大于十位数字的有多少个？,解：（1）分四步，依次把每一封信投入信箱有3种方法，由分步计数原理共有：,(2)按十位数字是1，2，37，8共分成8类满足条件的两位数分别有8、7、6、5、4、3、2、1个。由分类计数原理共有：8+7+6+5+4+3+2+1=36（个） 法2：用所有非零数字组成的两位数个数减去个位数和十位数相等的两位数个数，再除以2.即,排列和组合的区别与联系,从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列,从n个
3、不同元素中取出m个元 素，并成一组,所有排列的个数,记为：,所有组合的个数，记为：,有条件的排列组合问题,有条件的排列组合问题,例: 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,a)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？,解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有： （种）。,捆绑法,有条件的排列问题,七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,b)若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一起，有多少种不同的排法？,说一说,相邻,有条件的排列问题,
4、七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,c) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？,解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有 种方法，所以共有： （种）排法。,有条件的排列问题,七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,c) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？,插空法,有条件的排列问题,七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,d) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？,说
5、一说,互不相邻,B,有条件的排列问题,七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,e) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？,B,A,A,有条件的排列问题,七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,e) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？,B,A,对应法,更多,对应法适用于有几个特殊元素_问题,顺序固定,互不相邻问题,相邻问题,剩余组分类少,顺序固定问题,分组问题,逆向思考,作业,1. 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷,
6、又会划右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?,综合练习,分析：按划左舷人选分类： 1. 从只会划左舷的3 人中选3 人划左舷，再从剩下的9人中选3个划右舷:,2. 从左右舷都会划的5人中选 3人划左舷，再从剩下会划右舷的6人中选3个划右舷:,故，参赛选手的选法共有：,作业,2.求方程 的正整数解的组数。,分析：（隔板法）将8写成8个1，排成一排， 8个1中间有7个空档，用3块隔板放入空档，使8个1 被分成4段，每段内1的个数恰好对应方程的一组正整数解。,解：方程的正整数解组数为：,3.甲、乙两自然数的最大公约数为720，问甲、乙两自然数的公约数共有多少个？,分析：求公约数就是最大公约数720的所有约数。分解质因数 ，得： ，约数可看成是从质因数中取出部分或全部的乘积。,所以，甲、乙两自然数的公约数共有 个,第1步因数2的取法有：0个、1个、2个、3个、4个共5种方法，第2步因数3的取法有：0个、1个、2个共3种，第3步因数5的取法有： 0个、1个，由乘法原理，共有：,作业,解,解,再见！,
