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1、“121”三段四环导学课堂教学模式的课型研究概念教学是数学教学中不可缺少的重要组成部分。概念教学是一个“重新建构”过程，是一个“意义赋予”过程。“121”三段四环导学课堂教学模式中概念课的教学过程可概括为下图： 案例：函数的单调性（第一课时）函数的单调性是函数的重要性质。其中增函数、减函数的概念是形式化定义，较为抽象，学生不易理解，可采用概念形成的教学方式。一、概念的引入（约10分钟）（一）重现已有知识师：在初中我们已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质。现在请同学们观察下列函数的图象，并说明函数值y随x的增大而怎样变化？（1）y=2x+1 （2）y=-x+1 （3）y=x2 （
2、4）y=学生可能有以下回答：（1）函数y=2x+1在定义域内y随x的增大而增大。（2）函数y=-x+1在定义域内y随x的增大而减小。（3）函数y=x2在0，+）上y随x的增大而增大，在（-，0上y随x的增大而减小。（4）函数y=在（0，+）和（-，0）上y都随x的增大而减少。（设计意图：观察具体函数图象特征，注重直观感知）师：这些例子都反映了自变量变化时函数值也会发生改变，有的变大，有的变小，这是函数的一个重要性质，称为函数的单调性。同学们在初中对函数的这种性质虽然有所了解，但是没有严格的定义，今天我们的学习任务就是建立函数单调性的严格定义。（二）引入新的概念问题1：你能不能根据自己的理解说说
3、什么是增函数、减函数？学生可能回答：如果函数f（x）在某个区间随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f（x）在该区间上为增函数；如果函数f（x）在某个区间随自变量x的增大，y反而越来越小，我们说函数f（x）在该区间上为减函数。师：这种认识从图象的直观性很容易得到，即是从“形”的角度对函数单调性的直观性认识。（设计意图：从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的感性认识。）问题2：如何从“数”的角度，对“函数值y随x的增大而增大（或减少）的特征”给予具体的定量刻画呢？以y=x2在0，+）上是增函数为例，你能列举一些数据予以说明吗？学生可能回答：当x=0时，y=0；当x=1时，y=1；当x=
4、2时，y=4问题3：这样的数据能列举完吗？你能用准确的数学符号语言表达出增函数的定义吗？学生回答：不能。老师：为什么不能呢？逐步启发学生找到问题的根源：自变量不可能被穷举，从而逐步回答出：对任意的两个自变量x1，x20，+），x1（设计意图：引导学生思考讨论，把对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度。事实上也给出了证明单调性的方法，为典例1的学习做好铺垫。）（三）形成概念定义（教师用投影展示）一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2），那么就说f（x）在区间
5、D是减函数。区间D为y=f（x）的单调减区间。（图3）如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。二、概念的理解（约20分钟）（一）探究概念等价变换师：由不等式性质知：若ab则a-b0，反之亦然。要比较f（x1）与f（x2）的大小，只要观察f（x1）-f（x2）0？因此，单调性的定义你能作出怎样的等价变换呢？学生：对任意的两个变量x1，x2I，x1学生：对任意的两个变量x1，x2I，x10，则称函数f（x）在区间I单调递减。（二）概念理解的变式练习师：分别指出各函数（1）y=2x+1；（2）y=-x+
6、1；（3）y=x2；（4）y=的单调区间。学生可能回答：（1）函数y=2x+1只有增区间（-，+）；（2）函数y=-x+1只有减区间（-，+）；（3）函数y=x2的增区间是0，+），减区间是（-，0；（4）函数y=的减区间为（-，0）和（0，+）。问题4：能把函数y=的减区间（-，0）和（0，+）改写成（-，0）（0，+）吗？一些学生回答可以，一些学生回答不可以。师：请认为不可以的同学说说理由。学生甲：-1，2（-，0）（0，），并且-1f（2），这与事实f（-1）师：甲同学说对了。一个函数同时有两个或以上的增（或减）区间要用“，”或“和”分开，不能用“”把各个单调区间连接起来，这是求函数的单
7、调区间中最常见、最典型的?e误，请同学务必注意。（设计意图：规范表达，防止典型错误的发生）问题5：请回答下面几个思考题已知f（x）=，因为f（-1）若函数f（x）在区间（1，2和（2，3）上均为增函数，则函数f（x）在区间（1，3）上为增函数，对吗？因为函数f（x）=在区间（-，0）和（0，+）上都是减函数，所以f（x）=在定义域上是减函数，对吗？学生可能回答：都不对。师：通过以上几个小题的讨论交流，我们得出以下结论：单调性定义中的x1，x2是区间内任意两个值，而不是特殊的两个值。单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性，单调性是函数的局部性质。函数在定义域内的两
8、个区间A，B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数。（设计意图：让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过几个思考题的辨析，加深学生对定义的理解）（三）典例合作探究（交流研讨、展示点评、点拨整理）例1.证明函数f（x）=x+在（1，+）上是增函数。1.分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流、展示、点评、质疑。证明：任取x1，x2（1，+），且x1函数f（x）=x+在（1，+）上是增函数。 下结论2.归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、判断符号、下结论。（设计意图：初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤）三、概
9、念的运用（约10分钟）1.证明函数f（x）=x2+1在0，+）上是增函数。2.对任意的两个变量x1，x2I，x11，能判断函数f（x）在区间上是增函数吗？（设计意图：通过练习1，巩固学习效果，练习2拓展学生思维）四、总结提高学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生共同完成小结。（一）小结（1）探究得到函数单调性的概念。（2）单调性的证明方法和步骤：取值、作差、变形、判断符号、下结论。（3）数学思想方法：数形结合。（二）作业书面作业：课本第39页，习题1.3，第1，2，3题。选做作业：讨论函数y=x+（x0）的单调性。五、案例点评函数的单调性是函数的重要且基本的性质。
10、函数的单调性从图象角度来看，清楚、直观，容易理解，但是用抽象的数学符号语言来刻画，即当x1，x2I，x1f（x2），则f（x）在区间I上是减函数，对刚进高一的学生来说，就显得比较抽象。本案例针对函数单调性概念的形式化定义这一难点，教师通过学生初中已接触过的基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，引入课题，为新概念的学习创设情境，一定程度上达到承上启下的效果，为提高课堂效率打下良好基础。从已经掌握的一些简单函数的图象入手，让学生在问题情境中认识从“形”的直观性过渡到从“数”的角度上对函数单调性的特征进行辨析。在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过概念的变式思考、概念理解
11、的变式练习、典例“证明函数f（x）=x+在（1，+）上是增函数”的分析加深学生对单调性这个概念的理解，突破了如何用定义进行解题这一难点，并指出学生做题中最典型并且最常见的一个错误（一个函数同时有两个或以上的增或减区间要用“，”或“和”分开，不能用“”把各个单调区间连接起来），教师板书了规范的解答过程，师生一起总结解题的步骤。最后，通过概念的运用环节，让学生学以致用。通?解决：对任意的两个变量x1，x2I，x11，能判断函数f（x）在区间I上是增函数吗？达到拓展提升的目的。整节课学生都能主动参与课堂，顺利形成准确概念，使“单调性”顺利融入学生的知识体系。参考文献：1肖凌戆.高中数学“优效教学”的理论与实践M.陕西师范大学出版社，2015.2葛永.提高数学试卷评讲有效性的探索J.高中数学教与学，2012（12）：1-3.3穆镇海.如何引导学生积极参与数学学习过程J.中学数学教与学，2015（4）：5-8.注：广州市教育科学“十二五”规划2014年度课题“121”三段四环导学课堂教学模式的构建与实践（1201442114）。编辑 赵飞飞
