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1、第一章 集合与函数概念,1.1 集合 1.2 函数及其表示 1.3 函数的基本性质,1.1 集合,数学中常用的数集及其记法 自然数的集合，记作N。 正整数的集合，记作N或N+。 全体整数的集合，记作Z。 全体有理数的集合，记作Q。 全体实数的集合，记作R。,1.1.1 集合的定义,一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。,给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。,一个给定集合中的元素是互不相同的，不重复出现。,只要构成两个集合的元素是一样的，我们就说这两个集合是相等的，和顺序是无关的。,1.1.2 集合与元素的关系,注：通常用大写的拉丁字母A，B，C表示
2、集合，用小写的拉丁字母a，b，c表 示集合中的元素。,如果a是集合的A的元素，就说a属于A，记作aA；如果a不是集合的A的元素，就说a不属于A，记作aA；,集合中元素的特征：确定性；互异性；无序性。,小于10的所有自然数组成的集合； 方程X2=X的所有实数根组成的集合； 像这样把集合中的元素一一列举出来，并用花括号 括起来的表示集合的方法叫做列举法。（有限集） 不等式X-73的解集；D=XR|X10 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。（无限集）,1.1.3 集合的表示方法,上节回顾 1.集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 （通常用大写的
3、拉丁字母A，B，C表示集合，用小写的拉丁字母a，b，c表示集合中的元素。） 2.常用的数集及其记法 自然数的集合，记作N。 正整数的集合，记作N或N+。 全体整数的集合，记作Z。 全体有理数的集合，记作Q。 全体实数的集合，记作R。 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作: 3.元素与集合的关系：属于；不属于。 如果a是集合的A的元素，就说a属于A，记作aA；如果a不是集合的A 的元素，就说a不属于A，记作a A； 4.集合中元素的特征：确定性；互异性；无序性。 5.集合的表示方法：列举法，描述法。,1.1. 2 集合间的基本关系,A=1,2,3，B=1,2,3,4,5,1. 包含关系
4、： 一般地，集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，集合A叫做集合B的子集，记作：AB或BA,读作：“A包含于B”或“B包含A”。【Venn图表示（用封闭曲线的内部代表集合）】,规定：空集是任何集合的子集， A（空集是不含有任何元素的集合）,如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：A B或B A读作：“A真包含于 B”，或“B真包含A” 。 空集是任何非空集合的真子集。,设C=X|X是两条边相等的三角形，D=X|X是等腰三角形,2.集合相等： 一般地,集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素
5、也都是集合A的元素,那么我们就说集合A等于集合B,记作：A=B 注解：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且AB，则称A是B的真子集。,由集合之间的关系，可以得到下列结论：,（1）任何一个集合是他本身的子集，即AA； （2）对于集合A，B，C，若AB，BC,则AC； 注：子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.,1.1. 3集合的基本运算,A=1,3,5, B=2,4,6, C=1,2,3,4,5,6,一般地，由所有属于集合
6、A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集记作AB(读作A并B),即AB=x| xA,或X B Venn图表示(Venn图是用平面上的封闭曲线的内部代表集合),1.并集,A(AB), B(AB), AA=A, A =A, AB= BA,2.交集,A=2,4,6, B=1,6,8,9, C=6,一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集. 记作：AB 读作：“A交B” 即： AB=x|A，且xB 交集的Venn图表示,(AB) A, (AB) B, AA=A, A = AB= BA,3.补集,全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元
7、素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作：CUA 即：CUA=x|xU, 且x A 补集的Venn图表示,(x-2)(x2-3)=0的解集，在有理数的范围内的解x Q| (x-2)(x2-3)=0=2, 在实数范围内有三个解：2， 即x R| (x-2)(x2-3)=0=2, ,CUU= , CU = U, A ( CUA)=U, A ( CUA)= CU(CUA)=A , CU(AB)= CUA CUB, CU(A B)= CUA CUB,1.2函数及其表示,
8、对课本上的例子进行分析，你能得出什么？,1.2.1函数的概念,1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域。值域是集合B的子集。,A中元素无剩余，一对一或多对一，B中科有余。,构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这
9、两个函数相等（或为同一函数）,注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. y=tanx中，xk+ /2, (k z) (5)指数为零底不可以等于零， (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (7)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那 么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (8)函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.,研究函数常会用到区间的概念
10、 区间的分类： (1)开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示,1.解析法:根据自变量求出对应的函数值，便于研究函数的性质。 2.列表法：不比计算机会知道自变量取某些值时函数的对应值。 3.图像法：直观形象的表示函数值的变化情况。,1.2.2函数的表示方法,分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集,映射,一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”,1、理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义； 2、掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法； 3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.,
