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1、工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 第4课时数系的扩充与复数的引入 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 1复数的有关概念 (1)复数的概念 形如abi(a，bR)的数叫复数，其中 a，b分别是它的和 若，则abi为实数；若，则abi为虚数；若 ，则abi为纯虚数 (2)复数相等： abicdi?(a，b，c，dR) (3)共轭复数： abi与cdi共轭?(a，b，c， dR) 实部 虚部 b0 a0，b0 ab，cd ac，bd0 b0 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 (4)
2、复数的模 【思考探究】任意两个复数能比较大小吗？ 提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小 向量 OZ 的长度 r 叫做复数 zabi 的模，记作或， 即|z|abi|. |z|abi| a2b2 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 2复数的几何意义 (1)复平面的概念：叫做 复平面 (2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做，y轴叫做， 实轴上的点都表示；除原点以外，虚轴上的点都表示 (3)复数的几何表示： 建立直角坐标系来表示复数的平面 实轴虚轴 实数纯虚数 复数 zabi 复平面内的点平面向量 OZ . z(a，b) 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
3、 栏目导引 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z 2cdi(a，b，c，dR)，则 加法： z1z2(abi)(cdi)； 减法： z1z2(abi)(cdi)； 乘法： z1 z2(abi)(cdi)； 除法： z1 z2 abi cdi abicdi cdicdi (ac)(bd)i (ac)(bd)i (acbd)(adbc)i acbd bcad i c 2d2(cdi0) 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 (2)复数的运算定律 若z 1、z2、z3C，m、nN ，则 z 1z2 . (z 1z2)z3 z 1z2 . z 1(z2
4、z3) . z 1(z2z3) . z mzn . (z m)n . (z 1z2) n . z 2z1 z1(z2z 3) z2z1 (z1z2)z 3 z 1z2z1z3 z mn z mn z 1 nz 2 n 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 1在复平面内，复数 zi(12i)对应的点位于 () A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析：zi(1 2i) 2i，复数 z在复平面内对应的点为 Z(2,1)，该点位于第二象限 答案：B 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 2已知复数 z1i，则 z 2 z1( ) A2 B 2 C2i D
5、2i 解析：z1i， z 2 z1 1i 2 i 2i i 2. 答案：A 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 3设 z为复数 z的共轭复数，若复数z同时满足 z z2i， ziz， 则 z 为() A1i B 1i C1i D 1i 解析：设 zabi(a，bR)， 则 zabi， z z2bi2i， b1. 又 abii(abi)， ba， a 1， z 1i. 答案：B 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 4若复数 z1429i，z 269i，其中 i是虚数单位，则复数 (z1 z 2)i的实部为 _ 解析：z 1429i，z269i， (z 1z
6、2)i(220i)i202i， 复数(z 1z2)i的实部为 20. 答案：20 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 5已知 0a2, 复数zai的模的取值范围是 _ 解析：|z|ai|a21，且 0a2， 0a24，1a215.1|z|5. 答案：(1，5) 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从 定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理每一个复数zabi(a， bR)，在复平面内有唯一的一个点Z(a，b)和它对应， 而点 Z(a，b)与OZ
7、 存在唯一对应关系，故复数可用点或向量表示 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 当实数 a为何值时， za22a(a23a2)i (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内 解析：(1)由 z 为实数得， a23a20， 即(a1)(a2)0. 解得 a1 或 a2. (2)由 z为纯虚数得 a 22a0 a23a20 由得 a0 或 a2， 由得 a1 且 a2， a0. 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 (3)当 z对应的点在第一象限时， 有 a22a0 a 23a20 ，得 a0或a2 a1或a2 ， 解得 a0 或 a2. a
8、 的取值范围是 (，0)(2，) 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 【变式训练】1.将本例中的第 (3)问改为“对应的点在第三象限”， 又如何求解？ 解析：z对应的点在第三象限，则 a 22a0 a23a20 ， 即 0a2 1a2 ， 解得 1a2. a 的取值范围是 (1,2) 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 1复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注 意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用 运算技巧 工具 第四章平面向量、数系的扩充与
9、复数的引入 栏目导引 2在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度 (1)(1i) 22i； (2)(1i) 22i； (3) 1i 1i i； (4) 1i 1i i； (5)baii(abi)； (6)i 4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，nN . 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 (1)计算： 42i 12i(1i) 2 等于() A0B2 C4i D4i (2)(2010 辽宁卷 )设 a，b 为实数，若复数 12i abi1i，则( ) Aa 3 2，b 1 2 Ba3，b1 Ca 1 2，b 3 2 Da1，b3 工具 第四章平面向量、数系
10、的扩充与复数的引入 栏目导引 解析：(1)42i 12i (1i) 2 42i 12i 12i 12i 2i 10i 5 2i4i. (2) 12i abi 1i， abi12i 1i 12i 1i 1i 1i 3i 2 ， a 3 2，b 1 2. 答案：(1)D(2)A 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 【变式训练】2.计算： (1) 1i2i i 3； (2) 12i 23 1i 2i . 解析：(1) 1i 2i i 3 3i i 13i. (2) 12i 23 1i 2i 34i33i 2i i 2i i 2i 5 1 5 2 5i. 工具 第四章平面向量、数系
11、的扩充与复数的引入 栏目导引 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点 的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减 法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 如图，平行四边形 OABC，顶点 O、A、C分别表示 0,32i，24i， 试求： (1)AO 所表示的复数， BC 所表示的复数； (2)对角线 CA 所表示的复数； (3)求 B 点对应的复数 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 解析：(1)AO OA， AO 所表示的复数为 32i. BC AO，BC 所表示的复数
12、为 32i. (2)CA OAOC， CA 所表示的复数为 (32i)(24i)52i. (3)OB OA AB OA OC ， OB 所表示的复数为 (32i)(24i)16i，即 B 点对应的复 数为 16i. 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 【变式训练】3.若复数 z1与 z2在复平面上所对应的点关于y 轴对 称，且 z1(3i)z2(13i)，|z1| 2，求 z1. 解析：设 z1abi，则 z2abi(a，bR)， z1(3i)z2(13i)，且|z1|2， abi 3i abi 13i ， a2b22， 解得 a1， b1 或 a 1， b1， 则 z11
13、i 或 z11i. 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 1复数的代数运算 (1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知识 有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的 性质 (2)复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如i、1i等)的运算， 这就要求熟练掌握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧，才能减少 运算量，节省运算时间，达到事半功倍的效果 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 2复数的几何意义 (1) (2)|z|表示复数 z对应的点与原点的距离 (3)|z 1z2|表示两点间的距离，即表示复数 z 1与z2对应点间的
14、距离 结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何 有机地结合在一起，达到了学科间的融合，而且方法更灵活 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 复数是高考必考的内容之一，从近三年的高考试题统计分析来看， 对复数的考查固定在一个选择题或一个填空题，难度不大，以考查复数 的概念和代数运算为主从具体的题目分析来看，主要考查复数代数形 式的商式的化简，即乘除运算 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 (2010 全国新课标卷 )已知复数 z 3i 13i 2， z是 z的共轭复数，则 z z()
15、A. 1 4 B. 1 2 C1 D2 【全解全析】方法一： 由 z 3i 13i 2 3i 22 3i 得 z 3i 22 3i， z z 3i 22 3i 3i 22 3i 31 412 1 4. 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 方法二： z 3i 13i 2 3i 22 3i ， |z| | 3i| |22 3i| 2 4 1 2. z z|z| 21 4. 答案：A 【阅后报告】解答本题利用复数的运算性质，方法一先是计算复 数 z，再求 z；而方法二是利用|z|2z z进行计算，计算量较小 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 1(2010 天
16、津卷 )i 是虚数单位，复数 13i 12i () A1iB55i C55i D1i 解析： 13i 12i 13i12i 12i 12i 55i 5 1i. 答案：A 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 2(2010 山东卷 )已知 a2i i bi(a，bR)，其中 i 为虚数单位， 则 ab() A1 B1 C2 D3 解析： a2i i bi，a2ibi1. a1，b2.ab1. 答案：B 工具 第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 栏目导引 3(2010 北京卷 )在复平面内，复数 65i， 23i对应的点分别 为A，B.若C为线段 AB的中点，则点 C对应的复数是 () A48iB82i C24iD4I 解析：复数65i对应A点坐标为 (6,5)， 23i对应B点坐标为
